3. Метод координат на плоскости и в пространстве.

Аффинная система координат:

Аффинная система координат (косоугольная система координат) — прямолинейная система координат ваффинном пространстве.

В  -мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов  , выходящих из одной точки  .

Аффинными координатами точки   называют такие числа  , что

Tочку   и систему векторов   называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора   — координатными осями.

На аффинной плоскости   координату   называют абсциссой, а   — ординатой точки  . В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.

Вычисление координат делящей точки: Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении  , определяются по формулам

Если  , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

Прямоугольная система координат:

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

Преимущества прямоугольной системы координат: Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.

Нахождение координат вектора через координаты его концов:

Чтобы найти координаты вектора  , если заданы координаты его начала и конца, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно координаты   и  , то координаты вектора   вычисляются по формуле:

Если точки заданы в пространстве и имеют координаты   и   соответственно, то координаты вектора   вычисляются по следующей формуле:

Нахождение координат точки, делящей отрезок в данном отношении:

 Если x₁ и y₁ - координаты точки A, а x₂ и y₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении  , определяются по формулам

Если  , то точка C(x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам

Нахождение длины вектора и отрезка через координаты его начала и конца:

Если на плоскости заданы точки   и  , то вектор   имеет координаты   и его длина вычисляется по формуле  , а формула для нахождения длины вектора   по координатам точек   и   трехмерного пространства имеет вид  .

Вычисление площади треугольника, заданного координатами его вершин:

Пусть точки A₁(x₁; y₁), A₂(x₂; y₂), A₃(x₃; y₃) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:    В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Примечание: если определитель равен 0, то это означает, что точки лежат на одной прямой. Таким образом, равенство нулю определителя задает условие, при котором три точки лежат на одной прямой.

Полярные координаты:

Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Переход к прямоугольной системе координат:

Прямоугольная система координат на плоскости вводится следующим образом. Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси 0х и 0у, имеющие общее начало точку 0 и общую единицу масштаба. Оси 0х и 0у образуют прямоугольную (декартовую) систему координат на плоскости.  Проекции точки на плоскости на оси координат, а точнее, их числовые значения, называются прямоугольными или декартовыми прямоугольными координатами точки на плоскости. Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.  Возьмем на плоскости точку 0, которую назовем полюсом. Проведем из полюса луч 0р, называемый полярной осью. Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости. Расстояние r от точки до полюса называют полярным радиусом точки . Угол между полярной осью и радиусом называют полярным углом точки.  Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки на плоскости.

Уравнение линии:

Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Входящие в уравнение линии переменные x и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные - параметрами.

Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

           1) взять произвольную (текущую) точку M(x, y) линии;             2) записать равенством общее свойство всех точек M линии;             3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки M(x, y) и через данные в задаче.

Параметрические уравнения линии:

Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рассмотрим две функции аргумента t:

,   (1)

При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, меняться, следовательно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями линии, которая является траекторией точки М; аргумент t носит название параметра. Если из равенств (1) можно исключить параметр t, то получим уравнение траектории точки М в виде

F(x, y)=0.