10. Группа проективных преобразований. Приложение к решению задач.

Понятие проективного преобразования плоскости. Примеры проективных преобразований плоскости. Свойства проективных преобразований. Гомология, свойства гомологии. Группа проективных преобразований.

Понятие проективного преобразования плоскости: Понятие проективного преобразования обобщает понятие центральной проекции. Если выполнить центральную проекцию плоскости α на некоторую плоскость α₁, затем проекцию α₁ на α₂, α₂ на α₃, … и, наконец, какой-то плоскости α_n опять на α₁, то композиция всех этих проекций и есть проективное преобразование плоскости α; в такую цепочку можно включить ипараллельные проекции.

Примеры проективных преобразований плоскости: Проективным преобразованием пополненной плоскости называется ее взаимно-однозначное отображение на себя, при котором сохраняется коллинеарность точек, или, другими словами, образом любой прямой является прямая. Всякое проективное преобразование есть композиция цепочки центральных и параллельных проекций.Аффинное преобразование – это частный случай проективного, при котором бесконечно удаленная прямая переходит сама в себя.

Свойства проективных преобразований:

При проективном преобразовании три точки не лежащие на прямой переходят в три точки не лежащие на прямой.

При проективном преобразовании репер переходит в репер.

При проективном преобразовании прямая переходит в прямую, пучок переходит в пучок.

Гомология, свойства гомологии:

Проективное преобразование плоскости, которое имеет прямую инвариантных точек, а значит, и пучок инвариантных прямых называется гомологией.

1.Прямая, проходящая через несовпадающие соответственные точки гомологии, является инвариантной прямой;

2. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные точки гомологии, принадлежат одному пучку, центр которого является инвариантной точкой.

3. Точка, ее образ и центр гомологии лежат на одной прямой.

Группа проективных преобразований:

ассмотрим проективное отображение проективной плоскости P₂ на себя, то есть проективное преобразование этой плоскости (P₂’=P₂).

Как и прежде композицией f проективных преобразований f₁ и f₂проективной плоскостиP₂ назовем результат последовательного выполнения преобразований f₁и f₂: f=f₂°f₁.

Теорема 1: множество H всех проективных преобразований проективной плоскости P₂ является группой относительно композиции проективных преобразований.

10. Аксонометрия.

Задание точек, прямых и плоскостей. Основные позиционные задачи аксонометрии.

Задание точек, прямых и плоскостей:

АКСОНОМЕТРИЯ

(от греч. ахоn - ось и ...мет" рия) - способ изображения предметовна чертеже. Предмет вместе со связанной с ним системой координат проецируют на нек-рую плоскость; приэтом изменяются отрезки, взятые на координатных осях. Наиболее часто встречаются А., при к-ройодинаково изменяются все 3 координатных отрезка (изометрия), и А., при к-рой одинаково изменяются лишь2 координатных отрезка (д и м е т р и я).

Если на плоскости Σ задать изображение {O, A1 , A2 , A3} аффинного репера R′ = {O′, A1 ′, A2 ′, A3 ′}, то, можно построить изображение М для любой точки М' простран- ства по ее координатам относительно репера R'. Точку М называют аксонометрической82 проекцией точки М', а изображения Mi точек Mi ′ – вторичными проекциями точки М'.

Прямая l′ пространства определяется любы- ми двумя своими точками М' и N'. На плоскости Σ мы получим прямую l = (MN) – аксонометриче- скую проекцию прямой l′ и три ее вторичные проекции: ( )

Основные позиционные задачи аксонометрии:

Задача построения изображения точек пересечения фигур 1 2 F′,F′ называется позиционной задачей. Такие за- дачи удобно решать, пользуясь методом аксонометрии.

Задачи, в которых по данным инциденциям (взаимным расположениям фигур) требуется построить новую, называются позиционными.

Приведите примеры позиционных задач, которые вы знаете?(ребята могут при- вести следующие примеры: нахождение точки пересечения прямой и плоскости, нахожде- N’ А ’ В ’ С0 ’ S M. M ’ . N ’ . . А ’ B ’ C ’ A ’ B ’ C ’ M ’ M ’ N ’ N ’84 ние линии пересечения двух плоскостей,, построения сечения многогранника плоскостью и т.д.) Т.об. можно выделить три основных типа задач: - инциденция точек, прямых и плоскостей; - задачи на сечения; - инциденция прямых и поверхностей.

Позиционные задачи на полных изображениях имеют вполне определенное реше- ние, иначе говоря, их решение не имеет никакого произвола (и выполняются аналогично соответствующим построениям в оригинале). Если же изображение не полное, то решая позиционную задачу, некоторые элементы можно задавать произвольно. Мы будем рассматривать задачи первых двух типов.

3. Т.: На полных изображениях можно построить сечения призм, пирамид, цилинд- ров и конусов плоскостью.

4. Плоскость называется секущей плоскостью многогранника, если по обе стороны от этой плоскости имеются точки данного многогранника. Многоугольник, сторонами которого являются отрезки , по которым секущая плос- кость пересекает грани многогранника, называется сечением многогранника.

6. Рассмотрим секущую плоскость α и грани многогранника. Что значит постро- ить линию пересечения двух плоскостей? Что такое вершины сечения многогранника? Что такое стороны сечения многогранника? (вершины- следы секущей плоскости на ребра многогранника, стороны- следы секущей плоскости на грани многогранника). Таким образом, решение позиционных задач сводится к многократному примене- нию построений следа прямой и плоскости и двух плоскостей