1. Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

   S =	1	a · h
   	2

2. Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона

S = √p(p - a)(p - b)(p - c)

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними  Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

   S =	1	a · b · sin γ
   	2

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

   S =	a · b · с
   	4R

5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

   S = p · r

6. где S - площадь треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника, h - высота треугольника, γ - угол между сторонами a и b, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности,

p =	a + b + c	- полупериметр треугольника.
	2

Определение смешанного произведения некомпланарных векторов:

Смешанным произведением   некомпланарных векторов  ,взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис   правый, и знаком «–», если базис   левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

1) Исходные векторы  , обозначенные красными стрелками, не компланарны.  С компланарными векторами разберёмся ниже (что такое компланарностьвекторов, подробно разъяснено в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов).

2) Векторы   взяты в определённом порядке, то есть перестановка векторов в произведении  , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт:смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ:  . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через  , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда, построенного на векторах   (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число   равно объему данного параллелепипеда.

Примечание: чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму   может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным:  .

Непосредственно из  определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах  :

 

Знак модуля уничтожает возможный «минус» смешанного произведения.

В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:

В теории и практике тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра – треугольники.

Свойства смешанного произведения векторов:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а хb )•с=(b х с)•а=(с х а)•b .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер 

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с).

Действительно, (ахb )•с=±V и а•(b хс)=(b хс)•а=±V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации.

Следовательно, (a хb )•с=a (b хс). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х b)с в виде abc  без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4.Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

 Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V¹ 0. Но так как abc =±V , то получили бы, что abc¹0 . Это противоречит условию: abc =0.

Обратно, пусть векторы а, b , с — компланарны. Тогда вектор d =ахb будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а, b ,с, и следовательно, d ^с. Поэтому d •с=0, т. е. abc =0.

Смешанное произведение векторов в координатной форме:

Пусть заданы векторы a =а_хi +a_yj +a_zk , b =b_xi +b_yj +b_zk , с=c_xi +c_yj +c_zk . Найдем их смешанное произведение, используя выражения  в  координатах для векторного и скалярного произведений:

 

Полученную формулу можно записать короче:

так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Объем тетраэдра:

Тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней. Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани. Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем  любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

где

• S – площадь любой грани,

• H – высота, опущенная на эту грань