2. Аффинные и евклидовы n-мерныепространства.

Определение векторного пространства над полем действительных чисел:

 Векторное пространство   над полем вещественныхчисел   называется вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3.   или х = 0.

4.  .

Аксиомы векторного пространства:

Пусть V — непустое множество, элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать   … и т. д. Пусть на V заданы и определены́ каким-либо образом две операции. Первая операция — бинарная аддитивная операция (или грубо говоря — операция сложения). Эту операцию обозначим знаком +, (впрочем, необязательно, чтобы на все 100 % эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим, особым знаком, например так:   ( ). Вторая операция — умножение вектора на какой-нибудь элемент   такого множества, которое является полем, в результате которой получается новый вектор ( ). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что примерами алгебраических полей могут служить множество действительных или также комплексных чисел).

Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства.

1. a)сумма любых двух элементов из V и б)произведение скаляра и произвольного элемента из V являются некоторыми элементами из V (векторами).

2. сложение любых трёх элементов   из V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят — векторное сложение ассоциативно): 

3. сложение любых двух элементов   из V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно):   .

4. существует такой элемент   из V (нулевой вектор), что для любого  .

5. для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна  , то есть ( .

Для любых скаляров (чисел)   и   и для любых двух векторов   из V

6.

7.

8.

9.

N-мерное векторное пространство:

n -мерное пространство- совокупность системы из n действительных чисел . Сохраняющее свойство векторов , выходящих из начала координат.

Это векторы

a=(a1, a2 ...,an) - n

Числа a j называются компонентами вектора. Два вектора называются равными если равны их компоненты на одинаковых местах.

Векторы , выходящии из начала координат на плоскости будут двумерными векторами . Коэффиценты всякого линейного уравнения будут вектором. Строки и строки матрицы - векторы . Решение системы уравнений -вектор. Матрица тоже является mn вектором.

сумма векторов.

a+b={a+1b 1 , a2+b2 ...,an+bn)

Нулевойвектор

0={01, 02 ...,0n}

0+a=a

-a={-a1, -a2 ...,-an}

Разность векторов

a-b={a-1b 1 , a2-b2 ...,an-bn}

la={la1, la2 ...,lan}

a(c+b)=ac+ab

a(c-b)=ac-ab

k(la)=(kl)a

1*a=a

0*a=0

(-1)*a=-a

1*a=a

ka=0 если k=0 или а=0

Евклидово векторное пространство :

Евкли́довопростра́нство (также Эвкли́довопростра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство   с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

-мерное евклидово пространство обозначается   также часто используется обозначение   (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Определение аффинного пространства:

Аффи́нноепростра́нство — пространство, обобщающее аффинные свойства евклидова пространства. Во многом схоже с векторным пространством; однако для аффинного пространства, в отличие от векторного, характерно то, что все точки являются равноправными (в частности, в нём не определено понятие нулевой точки, или начала отсчёта).

Аффинное пространство над полем   — множество   со свободным транзитивным действием аддитивной группы кольца   (если поле   явно не указано, то подразумевается, что это — поле вещественных чисел).