6. Линии второго порядка.

Общее уравнение линии 2-го порядка:

Общее уравнение  линии второго порядка имеет вид  , где  – произвольные действительные числа (  принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты   не равны одновременно нулю.

Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Уравнение окружности имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = r²,

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x² + y² = r².

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a² - b² = c².

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

Гипербола:Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Простейшее уравнение гиперболы

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

a² + b² = c².

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x² - y² = a².

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями

Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.

Парабола: Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

Простейшее уравнение параболы

y² = 2px.     (*)

Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.

Координаты фокуса F параболы (*)  . (фокус параболы лежит на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы (*)

Эксцентриситет параболы e = 1.

y² = 2px (p > 0)

Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка:

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид

Ax² + 2Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Задача упрощения этого уравнения состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении были устранены: 1) член, содержащий произведение текущих координат, и 2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.

В том случае, когда уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, упрощение его следует начинать с поворота осей без изменения начала координат и надлежащим выбором угла поворота добиться того, чтобы из преобразованного уравнения был устранен член, содержащий произведение текущих координат. Преобразование координат в этом случае будем вести по формулам

Если после устранения из преобразованного уравнения члена с произведением текущих координат в нем останутся члены с первыми степенями текущих координат, то последующим параллельным переносом осей можно, как это было показано, привести уравнение к каноническому виду.

Координатную систему, полученную в результате поворота первоначальной системы координат, будем обозначать через x₁Oy₁, а систему координат, полученную от параллельного переноса координатной системы x₁Oy₁, - через x₂O₁y₂ (см. рисунок)