10. Неевклидовы геометрии.

Проблема пятого постулата Евклида. Простейшие факты гиперболической геометрии Н.И. Лобачевского, эллиптической геометрии Б. Римана и сферической геометрии.

Проблема пятого постулата Евклида:

Аксио́ма паралле́льности Евкли́да, или пя́тый постула́т — одна из аксиом, лежащих в основанииклассической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида ^[1]:

И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двухпрямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двухпрямых.

Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал»Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. Вклассическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении ихтретьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту жесторону от секущей.

Простейшие факты гиперболической геометрии Н.И. Лобачевского, эллиптической геометрии Б. Римана и сферической геометрии:

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий,геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, заисключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Евклидова аксиома о параллельных (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с даннойпрямой в одной плоскости и не пересекающей её.

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с даннойпрямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются^[1].Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое ифилософское её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии,отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще.

Римана геометрия

        эллиптическая геометрия, одна из неевклидовых геометрий(См. Неевклидовы геометрии), т. е. геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых (взначительной части) отличны от требований аксиом евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия).Основными объектами, или элементами, трёхмерной Р. г. являются точки, прямые и плоскости; основныепонятия Р. г. суть понятия принадлежности (точки прямой, точки плоскости), порядка (например, порядкаточек на прямой или порядка прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости) и конгруэнтности(фигур). Требования аксиом Р. г., касающиеся принадлежности и порядка, полностью совпадают стребованиями аксиом проективной геометрии (См. Проективная геометрия). Соответственно, в Р. г. имеютместо, например, следующие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые двеплоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются(в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в однойплоскости и проходящие через одну точку). Требования аксиом Р. г., касающиеся конгруэнтности, сходны стребованиями соответствующих аксиом геометрии: во всяком случае они обеспечивают движения (См.Движение) фигур по плоскости и в пространстве Римана столь же свободные, как на плоскости и впространстве Евклида. Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическимисвойствами обыкновенной сферы. Точнее: для любой точки плоскости Римана существует содержащая этуточку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус R этой сферы — один и тот же для всехплоскостей данного пространства Римана. Число К = 1/R² называется кривизной пространства Римана (чемменьше К, тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым). Свойства плоскости Римана «вцелом» отличаются от свойств целой сферы; так, например, на плоскости Римана две прямые пересекаютсяв одной точке, а на сфере два больших круга, которые играют роль прямых в сферической геометрии,пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость (т. е., если прямая алежит в плоскости α, то любые две точки плоскости α, не лежащие на прямой а, возможно соединитьотрезком, не пересекая прямой а).

         По-видимому, первое сообщение о Р. г. сделано Б. Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих восновании геометрии» (1854, опубликовано в 1867), где Р. г. рассматривалась как частный случай римановойгеометрии (См. Риманова геометрия) — теории римановых пространств (См. Риманово пространство) вшироком смысле. Р. г. относится к теории пространств постоянной положительной кривизны.