2.3.3. Минимизация целевой функции по методу релаксации

Вычисление предварительных координат определяемых пунктов геодезической сети в пространстве и уравнивание сети можно вы­полнить по группам неизвестных методом последовательной вставки пунктов по той же вычислительной схеме, которая применена при решении аналогичных задач на плоскости. Для этого необходим ал­горитм решения и уравнивания, различных по структуре пространст­венных засечек.

Наиболее общий подход к решению задачи связан с разработ­кой методов решения системы нелинейных уравнений (2.16) под условием минимума некоторой критериальной функции с учетом ог­раничений типа равенств или неравенств.

Для минимизации целевой функции (2.15) применим метод ре­лаксации, порядок решения, по которому в трехмерном пространстве следующий [55].

1. Определяемому пункту присваивают начальные координаты x^(I), y^(I), H^(I) в области притяжения глобального минимума и по ним вычисляют значение целевой функции. В боль­шинстве случаев эти координаты можно получить алгоритмически как среднее арифметическое из координат исходных пунктов. При наличии локальных минимумов, например, в случае линейной пространственной засечки минимизируют штрафную функцию (см. подраз­дел 2.3.4).

2. По начальным координатам находят S_ср. до исходных пунктов и вычисляют шаг релаксации l₁ = S_ср. / 3. По­лагают t₁ = 1.

3. Определяют значение целевой функции в шести точках релаксации:

где t_j ¾ масштабный множитель, вычисляемый по формуле (2.36).

4. Выполняют анализ значений целевой функций и находят наименьшее из них. Если наименьшее значение оказалось большим, чем в точке , то шаг l_j уменьшают вдвое и повторяют вычисления с п.3.

5. От точки переходят к той точке, где значение целевой функции минимально. Итерации продолжают с п.3 или заканчивают при l_j меньшим наперед заданному значению или пока приращение целевой функции от точ­ки к точке не станет меньше определенной малой величины.

Рассмотрим решение некоторых пространственных засечек ме­тодом релаксации.

Решим засечку по двум вертикальным и одному горизонталь­ному углам [40] (см. рис. 2.21). Координаты исходных пунктов даны такими: х₁ = у₁ = х₂ =100 м; у₂ = 200 м; z₁ = z₂ = 0 м. При этом известны результаты измерений:

1 2 N1 n2 b р ис. 2.21. Пространственная засечка

b = 90°00¢00²; n₁ = -35°00¢34,9² n₂ = -34°43¢53,5²

Траектория минимизации целевой функции (2.15) приведена в табл. 2.15.

Таблица 2.15

Траектория минимизации

j	xj	yj	Hj	lj	tj	Ф(Х)
1	83,333	150,000	0,000	16,667	1,748	2,7142
2	66,667	150,000	0,000	16,667	1,779	1,5810
3	50,000	150,000	0,000	16,667	1,573	0,7408
4	50,000	150,000	26,219	16,667	0,215	0,1286
11	50,000	150,000	51,691	4,167	1,855	0,0012
15	50,000	150,000	49,111	1,142	1,909	1,69Д-5
19	50,000	150,000	49,311	0,130	0,868	1,22Д-5

Рассмотрим определение пространственных координат пункта по четырем вертикальным углам [79]. Координаты исходных пунктов и результаты измерений даны в табл. 2.16. Траектория минимизации приведена в табл. 2.17.

Таблица 2.16