2.3.4. Применение метода штрафных функций

В пространственной системе координат x, y, Н также возможно применение функции (2,26), задающей ограничения по пе­ременным x, y. В результате будет образована отвесная барьерная плоскость ориентированная по направлению a₀. Кроме функции (2.26), необходима дополнительная функция, определяю­щая область допустимых решений по переменной Н. Наиболее просто эта функция может быть получена следующим путем.

1. В исходной информации указывают Н₀ для барьерной уровенной поверхности.

2. Как и в двухмерном случае, задают координаты начальной точки минимизации N(x₁, y₁, H₁) в допустимой области решений, определенной заранее с учетом всех используемых огра­ничений.

3. Вычисляют вспомогательный коэффициент значения которого не изменяют на протяжении всех итераций.

4. Дня некоторой исследуемой точки P(x_p, y_p, H_p) вычисляют коэффициент

Точки N и Р будут в одной области, если

, (2.37)

Решение пространственных засечек с учетом ограничений (2.26), (2.37) выполняется путем минимизации целевой функции (2.27).

Из изложенного видно, что методы штрафных функций не при­водят к значительному усложнению алгоритма поиска глобального 4 минимума и являются эффективными при решении разнообразных гео­дезических засечек.

2.4. Вычисление координат пунктов на поверхности эллипсоида вращения

Математическая обработка геодезических сетей непосредст­венно на поверхности эллипсоида выполняемся главным образом в тех случаях, когда применение геодезических проекций эллипсоида на плоскость нерационально и связано со значительными труд­ностями. Такая ситуация возникает, например, при совместной обработке геодезических сетей, занимающих большую территорию, или при обработке сетей со сторонами более 500 км [16, 90].

При развитии геодезических сетей на сфере, эллипсоиде вращения и трехосном эллипсоиде используют различные резуль­таты измерений, которые будем считать редуцированными с поверх­ности Земли на указанные выше поверхности относимости. Рассмот­рим нелинейные уравнения (2.16) для различных результатов изме­рений.

Для прямых сфероидических направлений, измененных с ис­ходного пункта A_i (B_j, L_j) на определяемый пункт P(B_i, L_i) уравнения (2.16) примут вид

, (2.38)

где A_ij^выч. ¾ вычисленный прямой азимут в j-ом прибли­жении; M_i ¾ измеренное направление с исходного пункта A_i; Z_i ¾ сферический ориентирный угол, вычисленный заранее на пункте A_i по направлениям, измеренным на другие исходные пункты.

Для обратных направлений М_i+1, измеренных с опреде­ляемого пункта P(B_i, L_i) на исходные пункты A_i+1 (B_j+1, L_j+1) запишем уравнение (2.16) в виде

, (2.39)

где A_j,1^выч. ¾ прямой азимут на пункт A₁ (B₁, L₁), принятого за начальный для ориентации пучка направлений.

Для сфероидического горизонтального угла b_i,i+1, измеренного между направлениями на пункты A_i, A_i+1 имеем

, (2.40)

Если известен прямой или обратный азимут

, (2.41)

Для известной из дальномерных измерений длины геодезичес­кой линии S_i получим

. (2.42)

Если измерена разность расстояний то

, (2.43)

где b ¾ угол между направлениями на пункты A_i и A_i+1.

Уравнения (2.38) - (2.43) являются основными при составлении системы (2.16) при обработке различных по построению геоде­зических сетей. Из этих уравнений видно, что для нахождения а^выч. и S^выч. необходимо решать обратные геодезические задачи на сфере или на эллипсоиде вращения. Первоначальное решение засечек следует получать на сфере, а затем на эллип­соиде вращения. Обратную геодезическую задачу на сфере можно решать по следующим формулам, рассчитанным на произвольно большие расстояния [79]:

, (2.44)

Обозначения дал этих формул даны на рис. 2.22 .

Р

е

90 – В₁

90 – В₂

А₂

a₁₂ a₂₁

А₁

Р ис.2.22. К решению обратной геодезической задачи на сфере.

Обратную геодезическую задачу на эллипсоиде вращения при произвольно больших расстояниях можно решить по методу Бесселя с использованием следующих формул, видоизмененных проф. К.Л.Проворовым:

, (2.45)

Как отмечалось выше, начальные координаты определяемого пункта будем уточнять итерациями на поверхности сферы. Здесь возникает важный вопрос: насколько уточнять координаты на сфере, чтобы в дальнейшем был сходящимся и не длительным процесс ите­раций на поверхности эллипсоида вращения. Эту задачу, можно ре­шить, анализируя расхождения в координатах одних и тех же пунк­тов на поверхности сферы и эллипсоида вращения, представленных на рис. 2.23. Например, при В_m = 55° и длинах сторон 1000 км итерации на сфере можно остановить, когда приращения в координаты будут не более 900 м.

DХ, м

2000

1600

1200

800

400

S, км

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Р ис. 2.23. Расхождения координат на сфере и эллипсоиде вращения.

Систему нелинейных уравнений (2.16) решим путем минимизации целевой функции (2.15) по методу релаксации. При этом координаты определяемого пункта будем уточнять по формулам

. (2.46)