2.2.5. Применение метода штрафных функций

Выше рассмотрены методы вычисления и уравнивания координат пунктов без использования ограничений. Однако на практике не­редко возникает необходимость минимизации целевой функции с учетом ограничений в виде равенств или неравенств. Например, при вычислении засечек, имеющих двойственность решения, требу­ется учитывать ограничения на область допустимых значений пара­метров. В двухмерном случае эта область может быть назначена

следующим образом.

На одном из исходных пунктов А_i задается дирекционный угол a₀ (0 £ a₀ £ p), с помощью которого определяет­ся прямая, делящая плоскость на две области B и D (рис.2.18). Угол a₀ выбирается из такого расчета, чтобы области B и D в случае двойственности решения содержа­ли только одну точку минимума.

Рис. 2.18. Назначение области допустимых решений

Минимизация целевой функции начинается из точки N, ле­жащей в области допустимых решений. Координаты точки N и дирекционный угол a₀ являются достаточными исходными дан­ными для того, чтобы определить, оказалась ли некоторая произ­вольная точка Р(х_Р, у_Р) в области допустимых значений, то есть в той области, где находится точка N. Соответст­вующий анализ может быть выполнен следующим путем.

1. Перед итерациями вычисляют дирекционный угол a_AN (рис.2.18) и по его значению находят вспомогательный коэффици­ент

(2.24)

В нашем случае sgn₁ = - 1.

2. В процессе итераций вычисляют для исследуемой точки Р(х_Р, у_Р) дирекционный угол a₀ и по его значению на­ходят вспомогательный коэффициент

(2.25)

В нашем случае, если точка Р лежит в области В, то sgn₂ = +1, иначе sgn₂ = - 1.

Точки Р и N будут в одной области, если

(2.26)

g(x, y) - функция, задающая ограничение в виде равенства через вспомогательные коэффициенты sgn₁ и sgn₂.

Минимизацию целевой функции под условием (2.26) удобнее всего выполнять методом штрафных функций [2, 89]. В результа­те, например, вместо целевой функции (2.15) находят минимум целевой функции

(2.27)

где w - некоторый положительный коэффициент, выбираемый из такого расчета, чтобы для произвольной точки, лежащей в недо­пустимой области, значения целевой функции (2.27) превосходили бы все максимальные значения этой функции в допустимой области.

Двойственность в решении засечек свойственна не только ли­нейным, но и некоторым угловым засечкам. На рис. 2.19 изображена засечка (называется она задачей Лакруа), с помощью которой пункт Р определяется по двум обратным и одному прямому направлениям [16]. Поскольку прямая А₃Р₁ пересекает ок­ружность, проходящую через точки А₁, А₂, Р₁ в двух точках Р₁ и Р₂, то засечка имеет два решения. Метод решения задачи Лакруа остается таким же, как и в предыдущем случае. На границе допустимых значений организуется барьер по известным данным a₀ и N (x, y).Координаты определяемого пункта находят из реше­ния системы двух нелинейных уравнений (2.19) и (2.21) путем ми­нимизации целевой функции (2.27). Чем ближе прямая А₃ Р₁ к касательной к окружности, тем выше требования к точности опре­деления дирекционного угла a₀.

A₁ N A₁ a₀

A₂

b b

A₃

P₁ P₂

Барьер

Рис. 2.19 Засечка Лакруа

Выше рассмотрены методы решения задачи минимизации с ограничениями вида (2.26). При решении некоторых геодезических засечек может возникнуть необходимость в применении ограничений ино­го вида. Характерным примером является линейная засечка, изобра­женная на рис.2.20, с помощью которой определяются пункты Р₁, Р₂, Р₃ относительно исходных пунктов A₁, A₂, A₃ по пяти измеренным расстояниям [116]. Заметим, что в этом случае число неизвестных (n = 6) больше количества измерений (k = 5). Однозначное решение засечки возможно лишь при наличии ограниче­ния, устанавливающего условие, чтобы все определяемые пункты находились, например, на одной прямой.

А₁

А₂ А₃

S₁ S₂ S₃

P₁ S₄ P₂ S₅ P₃

Р ис. 2.20. Засечка Лёбела

Засечка решается методами нелинейного программирования пу­тем минимизации штрафной функции

, (2.28)

где X = [x₁, y₁, x₂, y₂, x₃, y₃]^T; L₁(X) ¾ урав­нение вида (2.23); g (X) ¾ ограничение (равенство); w ¾ их вес.