2.2.2. Виды нелинейных уравнений

При развитии плановых геодезических сетей выполняют раз­личные геодезические измерения. Рассмотрим уравнения (2.16) для результатов измерений и нормирующие множители С входящие в (2.15) и получаемые из выражения (2.13).

Для прямого направления М_i, измеренного с исходного пункта А_i(x_i, y_i), имеем

, (2.19)

где x_j, y_j ¾ координаты определяемого пункта в j-ом приб­лижении; Z_i ¾ ориентирный угол, вычисленный на пункте A_i по направлениям, измеренным на другие исходные пункты.

Для обратных направлений M_i+1, измеренных с опре­деляемого пункта Р(x_j, y_j) на исходные пункты A_i+1(x_i+1, y_i+1), запишем уравнение (2.16) в виде

, (2.20)

где x₁, y₁ ¾ координаты исходного пункта A₁, принятого за начальный для ориентации пучка направлений.

Для горизонтального угла b_i,i+1, измеренного меж­ду направлениями на пункты A_i и A_i+1, имеем

, (2.21)

Если известен из астрономических или гиротеодолитных наб­людений дирекционный угол a_i, то

. (2.22)

Для измеренного и приведенного на плоскость проекции расстояния S_i получим

, (2.23)

Уравнения (2.19) - (2.23) являются основными при составлении системы (2.16) для обработки различных угловых, линейных или линейно-угловых геодезических построений.

2.2.3. Область сходимости итераций

Если не применять линеаризацию нелинейных параметрических уравнений и минимизировать функцию (2.15) методами поиска, то область сходимости итераций настолько велика, что практически во всех случаях не требуется задавать начальные координата определяемых пунктов. Исключение составляют лишь неоднозначные линейные и угловые засечки, для решения которых следует приме­нять метод штрафных функций [89].

Вычисляя предварительные координаты определяемых пунктов по алгоритму Ньютона-Гаусса, практически не уделяют внимания области сходимости в этих методах. Исключением являются, работы [31, 97]. В статье [96] утверждается, что область сходимости итераций по методу Ньютона мала даже при хорошем геометрическом качестве засечек.

Для выявления области сходимости применен метод статических испытаний, используя регулярную сетку размером 40 ´ 40 = 1600 уз­лов, располагая ее так, чтобы и исходные и определяемый пункты накрывались этой сеткой. В каждый узел сетки помещался определяемый пункт и по формуле (2.11) уточнялись его координаты.

Исследования показали, что для прямых засечек область сходимости итераций настолько велика, что при любом качестве засечки начальные координаты определяемого пункта можно задавать вблизи любого исходного пункта. Такой же результат получим для обратных и линейных засечек, если исходные пункты расположены на одной окружности, а определяемый пункт находится в центре этой окружности. В этих случаях среднее арифметическое из координат исходных пунктов всегда попадает в область сходимости итераций.

Дня линейной засечки, показанной на рис. 2.8 среднее ариф­метическое из координат исходных пунктов попало в область

1

2 L

S

3

Рис. 2.8. Линейная засечка. Область сходимости итераций