37. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

,        (3.5)

где  – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда (3.5),    – фиксированное число.

При  получаем степенной ряд вида:

                          (3.6)

Очевидно, что для (3.5) число  является точкой сходимости.

Выясним вопрос об области сходимости степенного ряда.

Теорема 3.1 (теорема Абеля)

1) Если степенной ряд (3.6) сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при всяком значении , удовлетворяющим условию: .

2) Если степенной ряд (3.5) расходится при некотором значении , то он расходится при любых , для которых .

Доказательство

1) Так как по условию числовой ряд  сходится, то его общий член  при , откуда следует, что числовая последовательность

ограничена, т.е. существует число  такое, что

,                                             (3.7)

Перепишем ряд (3.6) в виде:

                    (3.8)

и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

                    (3.9)

Члены ряда  (3.9) в силу неравенства (3.7) меньше соответствующих членов ряда

                              (3.10)

При  ряд (3.10) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем  и, следовательно, сходится. Так как члены ряда (3.9) меньше соответствующих членов ряда (3.10), то по признаку сравнения (см. теорему 2.3) ряд (3.9) также сходится, а это значит, что ряд (3.6) при  сходится абсолютно (см. теорему 2.8).

2) Докажем теперь вторую часть теоремы. По условию в точке  ряд (3.6) расходится. Требуется показать, что он расходится для всех , удовлетворяющих условию: . Предположим обратное, т.е. допустим, что при некотором значении  таком, что , ряд (3.6) сходится. Тогда, по только что доказанной первой части теоремы, ряд (3.6) должен сходится и в точке , так как . Но это противоречит тому, что в точке  ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке . Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля утверждает, что если  – точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале , этот ряд сходится абсолютно (рис. 3.1,а), а если  – точка расходимости степенного ряда (3.6), то во всех точках, расположенных вне интервала , ряд расходится (рис. 3.1,б).

Из этого можно заключить, что существует такое число , что при  мы имеем точки абсолютной сходимости и при  – точки расходимости.

Таким образом, имеет место следующая теорема о строении области сходимости степенного ряда (3.6).

Теорема 3.2. Областью сходимости степенного ряда (3.6) является интервал с центром в начале координат.

Определение. Неотрицательное число , такое, что при всех  степенной ряд (3.6) сходится, а при всех  – расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда (рис. 3.2). Интервал  называется интервалом сходимости степенного ряда (3.6).

На концах интервала (т.е. при  и при ) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

Если ряд (3.6) сходится только в одной точке , то для него радиус сходимости . Если ряд (3.6) сходится для любого действительного числа , то будем считать, что .

Радиус сходимости степенного ряда обычно находится с использованием признаков Даламбера и Коши.