18. Криволинейный интеграл первого рода. Свойства. Вычисление.

К риволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве.

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C.

Свойства: Линейность:

Аддитивность: если в одной точке, то

Монотонность: если на , то

Теорема о среднем для непрерывной вдоль функции :

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление: Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически. Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по : .

19. Криволинейный интеграл второго рода. Свойства. Вычисление.

Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции

существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C.

Свойства:

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3.

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление:

Пусть  — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

,

,

.

Если обозначить за единичный вектор касательной к кривой , то нетрудно показать, что

20. Формула Грина.

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по односвязной области D, ограниченной этим контуром.

- основной вид

-первая формула

- вторая формула, или Теорема Грина

- третья формула Грина

21. Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования.

Определения

Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции   не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция  , такая, что

В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции   вдоль кривой C от точки A до точки B выражается формулой

22. Поверхностный интеграл первого рода. Свойства. Вычисление.

Поверхностный интеграл первого рода от функции   по поверхности S определяется следующим образом:

где частные производные   и   равны

а   означает векторное произведение. Вектор   перпендикулярен поверхности в точке 

Свойства:

Линейность:   для любых вещественных чисел  ;

Аддитивность:   при условии, что   и   не имеют общих внутренних точек;

Монотонность:

если  , то 

для   если  , то 

Теорема о среднем для непрерывной функции   и замкнутой ограниченной поверхности  :

, где  , а   — площадь области  .

23. Поверхностный интеграл второго рода. Свойства. Вычисление.

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность  , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

,

распространенным на выбранную сторону поверхности  , и обозначают символом

Свойства

Линейность:  ;

Аддитивность:  ;

При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.