52. Метод неопределенных коэффициентов для решения неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков. Специальный вид правой части.

Если правая часть f(x) дифференциального уравнения представляет собой функцию вида

где Pn(x), Qm(x) − многочлены степени n и m, соответственно, то для построения частного решения можно использовать метод неопределенных коэффициентов. В этом случае мы ищем частное решение в форме, соответствующей структуре правой части уравнения. Так, например, для функции

частное решение имеет вид

где An(x) − многочлен той же степени n, как и Pn(x). Коэффициенты многочлена An(x) определяются прямой подстановкой пробного решения y1(x) в неоднородное дифференциальное уравнение. В так называемом резонансном случае, когда число α в показательной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, в частном решении появляется дополнительный множитель xs, где s равно кратности корня. В нерезонансном случае полагают s = 0. Такой же алгоритм применяется, когда правая часть уравнения задана в виде

Здесь частное решение имеет аналогичную структуру и записывается как

где An(x), Bn(x) − многочлены степени n (при n ≥ m), а степень s в дополнительном множителе xs равна кратности комплексного корня α ± βi в резонансном случае (т.е. при совпадении чисел α и β с комплексным корнем характеристического уравнения), и, соответственно, s = 0 в нерезонансном случае.

Решить дифференциальное уравнение  yIV − y = 2cos(x).

Решение.

Сначала рассмотрим однородное уравнение

     

и построим его общее решение. Характеристическое уравнение

     

имеет следующие корни:

     

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:

     

где C1,..., C4 − произвольные числа. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Здесь мы имеем резонансный случай, поскольку выражение в правой части соответствует по структуре комплексному корню α ± iβ = ±i. Поэтому будем искать частное решение в виде

     

Производные этой функции равны:

     

Подставляем найденные производные в неоднородное уравнение и определяем коэффициенты A, B:

     

Итак, частное решение выражается в виде

     

Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения записывается как

     

53. Понятие фкп. Предел. Непрерывность. Элементарные фкп.

Комплекснозначная функция — функция вещественной переменно1, имеющая комплексные значения:

.

Такая функция может быть представлена в виде

,

где и  — вещественные функции. Функция называется вещественной частью функции , а  — её мнимой частью.

Функция комплексного переменного-

Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z0 = x0 + iy0. Функция называется непрерывной в точке z0, если:         1. существует ;         2.

54. Производная фкп. Условия Коши-Римана. Аналитические функции.

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной   – это правило, по которому каждому значению независимой переменной   (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции  . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной   – это правило, по которому каждому комплексному значению  независимой переменной   (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции  . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде  . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом:  , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной   зависит от переменных   и  , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде: , где   и   – две функции двух действительных переменных.

Функция  называется действительной частью функции  . Функция  называется мнимой частью функции  .

То есть, функция комплексной переменной   зависит от двух действительных функций   и  . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Пример 1

Найти действительную и мнимую часть функции 

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде  , поэтому:

(1) В исходную функцию   подставили  .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения  . В слагаемом   – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат  , не забывая, что 

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть   (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим   за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде 

Ответ:   – действительная часть функции  .  – мнимая часть функции  .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные. Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем  , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Пример 2

Найти действительную и мнимую часть функции 

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что  , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Чтобы дальше легче жилось, обратим внимание на пару полезных формул. В Примере 1 было выяснено, что  .

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения  , выведем: .

Рекомендую переписать в тетрадь две рабочие формулы:

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной. Условия Коши-Римана

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной   справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной  .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной  . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка  . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи:  .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:

Только в этом случае будет существовать производная!

Пример 3

Определить действительную   и мнимую   части  функции  . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как  , то:

Таким образом:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так:  , а мнимую – так:  .

3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия  . Находим частные производные: Таким образом, условие   выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия  : Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие   также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ:   – действительная часть,   – мнимая часть.  Условия Коши-Римана выполнены,  .

55. Интеграл ФКП. Теорема Коши.

Теорема Коши позволяет также установить связь между значениями аналитической функции   во внутренних точках области ее определения и граничными значениями. При этом имеет место следующее соотношение (рис.19):
	(52)
		Рис.19

Формула (52) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура   в (52) выбрать окружность  , то, заменяя   и учитывая, что   - дифференциал длины дуги  , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения:

(53)

Формула Коши может быть расширена для производных аналитической функции  , и так как   входит в интеграл (52) как параметр, то на основе свойств интегралов, зависящих от параметра, после  -кратного дифференцирования, можно получить

(54)

Помимо самостоятельного значения интегральной формулы Коши, (52), (54) фактически дают очень удобный способ вычисления контурных интегралов, которые, как видно, будут выражаться через значение "остатка" подынтегральной функции в точке, где эта функция имеет особенность  .

Пример 3-9. Вычислить интеграл от функции   по контуру   (рис.20).

Решение. Точка  , в которой функция   имеет особенность, в отличие от примера 4-1, находится внутри окружности  . Представим интеграл в форме (52):