45. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Их решение.

.

Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны.

Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство . Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде.

46. Однородные относительно аргумента и искомой функции дифференциальные уравнения первого порядка. Их решение.

Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Определение 1. Уравнение 1-го порядка  называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.

Пример 1. Показать, что функция  - однородная нулевого измерения.

Решение. 

,

что и требовалось доказать.

Теорема. Любая функция  - однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .

Доказательство.

Первое утверждение теоремы очевидно, т.к.  . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать.

Определение 2. Уравнение  (4.1)

в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством  при всех , называется однородным.

Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду  (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим:  или или .

Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x)  , который после повторной замены дает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если - корни уравнения , то функции - решения однородного заданного уравнения. Если же , то уравнение (4.2) принимает вид

и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые:  .

Замечание.Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановкуx=zy.

47. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Метод вариации постоянной

Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x). Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Решить дифференциальное уравнение .

Solution.

Будем решать данную задачу методом вариации постоянной. Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

     

которое решается разделением переменных:

     

где C − произвольное положительное число. Теперь заменим константу C на некоторую (пока неизвестную) функцию C(x) и далее будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде:

     

Производная равна

     

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:

     

Интегрируя, находим функцию C(x):

     

где C1 − произвольное действительное число. Таким образом, общее решение заданного уравнения записывается в виде: