50. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Их решение в случае кратных корней характеристического уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка  с постоянными коэффициентами

В теории  и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: , где   и   – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: , где   и   – константы, а   – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция   может быть числом, отличным от нуля.

Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!

Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:  вместо второй производной записываем  ; вместо первой производной записываем просто «лямбду»; вместо функции   ничего не записываем.

 – это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий. Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будем использовать готовые формулы.

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение   имеет два различных действительных корня  ,   (т.е., если дискриминант  ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:  , где   – константы.

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например,  , тогда общее решение:  .

51. Метод вариации постоянных для решения неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков.

Данные уравнения имеют вид

где a1, a2,..., an − действительные или комплексные числа, а правая часть f(x) является непрерывной функцией на некотором отрезке [a, b]. Используя линейный дифференциальный оператор L(D), равный

неоднородное дифференциальное уравнение можно записать в виде

Общее решение y(x) неоднородного уравнения представляется в виде суммы общего решения y0(x) соответствующего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:

При произвольной правой части f(x) для поиска общего решения неоднородного уравнения используется метод вариации постоянных. В случае, если правая часть представляет собой произведение многочлена и экспоненциальной функции, частное решение удобнее искать методом неопределенных коэффициентов.

Метод вариации постоянных

Предположим, что общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка известно и представляется формулой

Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) заключается в том, что вместо постоянных чисел C1, C2,..., Cn мы рассматриваем функции C1(x), C2(x),..., Cn(x). Эти функции подбираются таким образом, чтобы решение

удовлетворяло исходному неоднородному уравнению. Производные n неизвестных функций C1(x), C2(x),..., Cn(x) определяются из системы n уравнений:

Определителем этой системы является вронскиан функций Y1, Y2,..., Yn, образующих фундаментальную систему решений. В силу линейной независимости этих функций определитель не равен нулю и данная система однозначно разрешима. Окончательные выражения для функций C1(x), C2(x),..., Cn(x) находятся в результате интегрирования.

Найти общее решение дифференциального уравнения  y''' + 3y'' − 10y' = x − 3.

Решение.

Сначала найдем общее решение однородного уравнения

     

Вычислим корни характеристического уравнения:

     

Следовательно,

     

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

     

где C1, C2, C3 − произвольные числа. В правой части уравнения содержится лишь многочлен. Однако, если учесть, что exp(0) = 1, то видно, что на самом деле мы имеем резонансный случай (в замаскированном виде), поскольку один из корней характеристического уравнения также равен нулю: λ1 = 0. Поэтому частное решение будем искать в виде

     

Подставляем производные

     

в неоднородное уравнение и определяем коэффициенты A, B:

     

Частное решение y1 записывается как

     

Итак, общее решение неоднородного дифференциального уравнения выражается формулой