24. Скалярное поле. Градиент скалярного поля. Свойства градиента.

Если каждой точке   заданной области пространства (чаще всего размерности 2 или 3) поставлено в соответствие некоторое (обычно —действительное) число  , то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая   в   (скалярная функция точки пространства).

Направление скорейшего возрастания поля  указывает вектор градиента, обозначаемый стандартно

,или ,

с компонентами:

.

Абсолютная величина вектора градиента u есть производная u по направлению скорейшего роста (скорость роста u при движении с единичной скоростью в этом направлении).

Градиент всегда перпендикулярен поверхностям уровня (в двумерном случае — линиям уровня). Исключение — особые точки поля, в которых градиент равен нулю.

25. Векторное поле. Векторные линии. Поток векторного поля. Вычисление потока.

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан векторным полем.

Интегральной кривой (также —векторной линией, для силовых полей — силовой линией, для поля скорости движения жидкости или газа —линией тока; первые термины являются общими, остальные — их синонимами в зависимости от контекста) для поля   называется кривая  , касательная к которой во всех точках кривой совпадает со значением поля:

Поток векторного поля  через поверхность S определяется как интеграл по S:

,

где   — проекция вектора поля на нормаль к поверхности,   — «векторный элемент поверхности», определяемый, как вектор единичной нормали, умноженный на  . Простейшим примером этой конструкции является объём жидкости, проходящий через поверхность S, при её течении со скоростью F.

26. Дивергенция векторного поля. Выражение дивергенции в координатной форме. Свойства дивергенции.

Дивергенцией или расходимостью векторного поля   называется скалярная функция, определяемая равенством:

  Дивергенция векторного поля в цилиндрических координатах 

     Дивергенция векторного поля в сферических координатах 

   Свойства дивергенции 

27. Теорема Остроградского-Гаусса.

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

компоненты которого имеют непрерывные частные производные.  Согласно формуле Остроградского-Гаусса,

где через

обозначена дивергенция векторного поля   (она обозначается также символом  ). Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами.  Данную формулу можно записать также в координатной форме:

28. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля. Формула Стокса.

Линейный интеграл от вектора   по линии l

где Fs - проекция вектора   на касательную к l.

Циркуляция векторного поля   вдоль контура l - линейный интеграл вдоль замкнутой линии l:       Формула Стокса 

или в векторной форме

где   единичный вектор нормали к поверхности S, направление которого таково, что при обходе контура l = дS поверхность S остается слева.