38. Ряды Тейлора и Маклорена.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Пусть
функция
бесконечно
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
.
Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции в точке .
То
есть, рядом Тейлора для функции
в
окрестности точки
называется
степенной ряд относительно двучлена
вида
[2]
Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
39. Тригонометрические ряды Фурье. Нахождение коэффициентов ряда Фурье.
Тригонометрический
ряд Фурье —
представление произвольной функции
с
периодом
в
виде ряда
|
(1) |
или используя комплексную запись, в виде ряда:
.
Тригонометрическим
рядом Фурье функции
называют
функциональный
ряд вида
|
(1) |
где
Числа
,
и
(
)
называются коэффициентами Фурье функции
.
Формулы для них можно объяснить следующим
образом. Предположим, мы хотим представить
функцию
в
виде ряда (1), и нам надо определить
неизвестные коэффициенты
,
и
.
Если умножить правую часть (1) на
и
проинтегрировать по промежутку
,
благодаря ортогональности в правой
части все слагаемые обратятся в нуль,
кроме одного. Из полученного равенства
легко выражается коэффициент
.
Аналогично для
Ряд
(1) сходится
к функции
в
пространстве
.
Иными словами, если обозначить через
частичные
суммы ряда (1):
,
то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:
.
Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).
40. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
Функция y=f(x) называется четной, если выполнено условие:
График
четной функции симметричен относительно
оси Oy. Например, функция
-
четная.
Функция y=f(x) называется нечетной, если выполнено условие:
График
нечетной функции симметричен относительно
начала координат. Например, функция
-
нечетная.
Теорема. Если функция y=f(x) четная с периодом T=2p, то
(1)
Доказательство
Функция y=f(x)cos nx четная. Введем для первого интеграла замену:
Аналогично, функция y=f(x)sin nx нечетная. С помощью той же замены получим:
Можно сформулировать это правило так: четная периодическая функция разлагается в ряд по четным гармоническим функциям, нечетная функция по нечетным.
Теорема. Если функция y=f(x) нечетная с периодом T=2p, то
(2)
Доказательство проводится аналогично. Разобрать самостоятельно. Можно сформулировать это правило так: четная периодическая функция разлагается в ряд по четным гармоническим функциям, нечетная функция по нечетным.
Пример. Найти разложение в ряд Фурье функции 2p- периодической функции, которая равна y=x на (-p,p). Изобразим график функции
Так как функция нечетная, то an=0. Коэффициенты
Применим для вычисления формулу интегрирования по частям
Получаем
Разложение имеет вид
41. Ряд Фурье для функции с произвольным периодом.
Пусть функция y=f(x) периодическая с периодом T=2l. Введем замену
(3)
Функция y=g(t) периодическая с периодом 2p. Разложим ее в ряд Фурье.
(4)
(5)
(6)
В соответствии с заменой (3) получим:
.
Тогда
(7)
(8)
(9)