48. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Их решение в случае различных действительных корней характеристического уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C1 и C2 − произвольные действительные числа.

Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1 = α + βi, k1 = α − βi. Общее решение записывается в виде

Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

   Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  y'' − 6y' + 5y = 0.

Решение.

Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:

Корни данного уравнения равны k1 = 1, k2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:

где C1 и C2 − произвольные постоянные.

   Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения  y'' − 6y' + 9y = 0.

Решение.

Вычислим корни характеристического уравнения:

Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k1 = 3. Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой

где C1, C2 − произвольные действительные числа.

   Пример 3

Решить дифференциальное уравнение  y'' − 4y' + 5y = 0.

Решение.

Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни:

Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней: k1 = 2 + i, k2 = 2 − i. В этом случае общее решение выражается формулой

где C1, C2 − произвольные постоянные.

   Пример 4

Решить уравнение  y'' + 25y = 0.

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Корни этого уравнения являются чисто мнимыми:

Тогда ответ записывается в следующем виде:

где C1, C2 − постоянные интегрирования.