Глава 7. Оценка фильтрационных характеристик нефтяных залежей косвенными методами

7.1. Методика оценки геолого-промысловых признаков по косвенным данным

Анализ геолого-промысловых данных показал, что в про­цессе поисково-разведочных работ определению наиболее инфор­мативных геолого-промысловых признаков: проницаемости, гидропроводности, коэффициента продуктивности — уделяется недоста­точное внимание. Мало снимается индикаторных кривых и кривых восстановления давления, обработка которых позволяет опреде­лить и соответствующие фильтрационные характеристики залежей продуктивных пластов: коэффициент продуктивности, проницае­мость, гидропроводность, проводимость, подвижность, пьезопроводность. Отсутствие этих данных отрицательно сказывается на качестве проектирования, а иногда и анализа состояния разработки, а выбор оптимальных вариантов разработки возможен лишь на основе учета этих материалов.

Вследствие недостаточности объемов прямых определений необходимых параметров в практике геологических и геолого-промысловых исследований широко применяется определение их по косвенным данным [1, 2, 36, 41]. Например, в работе [41] предла­гается построить функцию y (х) измеряемых параметров, значения которой были бы оценками интересующей нас характеристики геологического объекта. Задача статистического предсказания параметра у с задачей классической регрессии, но отличается от нее возможностью существования нескольких функций, дающих практически одинаковые по точности оценки параметра у. Кроме того, если в задаче классической регрессии коэффициенты уравнения регрессии можно обычно интерпретировать физически как и изучаемого объекта, то в функциях, получаемых для параметров по косвенным данным, чаще всего физическую интерпретацию коэффициентам дать невозможно.

В общем случае задачей регрессионного анализа является оценка условного математического ожидания (М) случайной величины при заданном значении другой переменной. Сущность метода многомерного регрессионного анализа заключается в вычислении оценки математического ожидания фильтрационного коэффициента по фиксированным значениям геолого-физических признаков, которые характеризуют изучаемый пласт в каждом его пересечении скважиной. Выборочный характер исходных данных и вероятностный характер принятой для их анализа многофакторной корреляционной модели требуют вероятностной оценки получаемых результатов, так как посредством данной модели может быть дана приближенная характеристика истинных значений изучаемого признака.

Как известно, получаемый при этом коэффициент множественной корреляции R оценивает тесноту связи между определяемым параметром (зависимой переменной) и параметрами, по которым ведется оценка (независимыми переменными). Через множественный коэффициент корреляции вычисляется и средняя квадратичная погрешность (S) оценки значения зависимой переменной при фиксированных значениях независимых переменных:

s

(7.1.)

=s_y ²,

где s_y=

оценка среднего квадратического отклонения зависимой переменной (у).

Из этого выражения следует, что чем ближе значение R к единице, тем меньше разброс эмпирических точек относительно плоскости регрессии.

Оценка коэффициента множественной корреляции по эмпири­ческим данным является случайной величиной, значение которой определяется составом выборки и числом наблюдений (N) в выборке. В силу случайности выборки можно получить ненулевые значения R, в то время как истинное значение его (вычисленное для генеральной совокупности) равно нулю. Для проверки гипоте­зы H₀, которая состоит в предположении, что R=0, используется критерий Фишера [14]. Считается, что эмпирические данные не противоречат гипотезе Н₀, если

(7.2)

,

где R— коэффициент множественной корреляции; N — число наб­людений; Р—число переменных, вошедших в уравнение; F -критическая точка распределения Фишера для Р — 1 и N — Р сте­пеней свободы и выбранного уровня значимости (обычно = 0,05).

Если неравенство (7.2) не выполняется, то принимается, что R≠0 и говорят, что значение R статистически значимо. Например, коэффициент корреляции, полученный для пласта БС₆ Правдинского месторождения (R= 0,5, N = 5,1), статистически незначим.

Действительно, ,

так как F =2,20.

Кроме того, для расчетов выбирается такое уравнение, для которого погрешность получаемого результата минимальна.

В математическом отношении решаемая задача является об­ратной и принадлежит к числу так называемых некорректных за­дач, поскольку используемые в ней параметры, с одной стороны, могут быть определены с некоторой степенью приближения, а с другой — они связаны с фильтрационными коэффициентами только косвенно. Поэтому успешность реализации поставленной задачи во многом зависит от формирования набора необходимых признаков. При оценке, например, коэффициента продуктивности по косвенным данным необходимо подобрать такие признаки, от которых этот параметр зависит наиболее тесно. Как известно [5, 8], коэффициент продуктивности в значительной мере зависит от гидропроводности. Следовательно, необходимо подобрать такие геолого-промысловые и геофизические признаки, которые бы зави­сели от величин, характеризующих именно этот сложный фильтра­ционный параметр. Естественно искать зависимость К_i от геолого-физических признаков, характеризующих условия движения нефти по пласту. Среди них можно отметить эффективную толщину (Н_эф), проницаемость (k_пр), вязкость нефти (μ), параметры, ха­рактеризующие неоднородность пласта,— коэффициенты песчани­стости К_пч и расчлененности К_р, влияние которых на фильтрацион­ные свойства пластов убедительно показано во многих работах. Эти признаки можно отнести к первой группе.

Исходя из того, что геофизическими методами исследуются все пробуренные скважины, представляет интерес изучение связи между результатами этих методов и коэффициентом продуктивности (либо другими фильтрационными характеристиками). Эти признаки следует отнести ко второй группе. Таким образом, для успешной оценки фильтрационных характеристик пласта косвенными методами необходимо сформировать соответствующий набор геолого-промысловых и геофизических признаков, от которых определяемые параметры зависят наиболее тесно.

После установления информативности геолого-геофизических признаков следует остановиться на оценке получаемых типов регрессии (линейного или нелинейного). Оценка линейного типа с методической точки зрения особых затруднений не вызывает, решению этого вопроса посвящены многие работы [1, 3, 26, 41]. При оценке нелинейного типа регрессии возникает проблема методологического характера, а именно — в настоящее время нет ни теоретического, ни практического обоснований того, какой вид должно иметь нелинейное уравнение регрессии, т. е. каким нелинейным преобразованиям должны подвергаться исходные геолого-геофизические признаки для того, чтобы можно было получать высокие коэффициенты множественной корреляции. Так обстоит дело не только при оценке коэффициента продуктивности, но и при оценке многих других геологических, гсолого-промысловых и геофизических характеристик.

На практике обычно поступают следующим образом [41]: наряду с исходным набором признаков (X₁, Х₂, ..., Х_Р) рассматривают функции φ₁(х_i), φ₂(x_i ), ..., φ_m(х_i), i = 1, 2, ..., Р от всех или некоторых признаков. Обычно это наиболее простые непрерывные функции

ln(х_i), (х_i)², , ( х_i)³, , ln²(х_i), х_i, х_y,... (7.З)

Затем рассматривают различные комбинации некоторых признаков из этой новой системы и получают линейные уравнения регрессии относительно этих преобразованных к нелинейному виду признаков, т. е. уравнение регрессии записывают в виде

y

(7.4)

(x₁, x₂, …,x_p)=

Это обычно или многочлен 2-й степени или линейная форма заранее задаваемого вида. С целью выбора вида линейной формы рассчитывают различные статистические характеристики исходных и преобразованных данных.

Для получения нелинейных уравнений регрессии по геолого-геофизическим признакам строят линейные формы (7.1) относительно самих признаков, а также относительно их нелинейных преоб­разований. При этом виде уравнение заранее не задается — оно строится с помощью пошаговой процедуры, использующей для отбора признаков частные коэффициенты корреляции. На первом шаге процедуры выбирается такой признак (или его функция), который лучше других объясняет дисперсию оцениваемого параметра (например, коэффициента продуктивности К). Другими словами, отбирается признак, имеющий наибольший парный коэффициент корреляции с К и вычисляется доля дисперсии, которая не объясняется выбранным признаком (остаточная дисперсия). На втором шаге процедуры в уравнение регрессии включается приз­нак (или его функция), который объясняет остаточную дисперсию лучше, чем другие, т. е. выбирается признак, который имеет наи­больший частный коэффициент корреляции с К при исключении влияния первого выбранного признака.

Далее отбор признаков ведется по следующему индуктивному правилу. Пусть уже отобрано t признаков. На t + 1-м шаге выби­рается такой признак (или его функция), который имеет макси­мальный частный коэффициент корреляции с оцениваемым призна­ком, при исключении влияния первых t признаков. Другими сло­вами, на t + 1-м шаге выбирается такой признак, который наилуч­шим образом объясняет ту долю дисперсии оцениваемого признака, которую не могут объяснить первые t выбранные признаки.

Такой отбор признаков обеспечивает рост множественного ко­эффициента корреляции на каждом шаге процедуры. Как показывает опыт расчетов, значения R испытывают значительный рост на первых пяти-шести шагах процедуры и после восьми-девяти шагов уже практически не изменяются. Например, при построении уравнения для пласта БС₁ Усть-Балыкского месторождения значе­ния R от шага к шагу менялись следующим образом: 0,34; 0,49; 0,57; 0,65; 0,69; 0,73; 0,78; 0,80; 0,82. Отсюда видно, что уравнение, содержащее пять признаков, может использоваться для расчетов, так как добавление еще четырех признаков лишь на 0,15 изменяет коэффициент множественной корреляции.

Анализ проведенных расчетов позволил прийти к выводу, что число членов уравнения регрессии следует ограничить девятью, так как дальнейшее его увеличение не приводит, кик правило, к значительному увеличению коэффициента множественной корре­ляции и уменьшению средней квадратической погрешности урав­нения.

Остановимся на порядке и особенностях расчета фильтрацион­ных характеристик пласта косвенными методами.