Тема 4 Методы научного исследования

правил вывода. Если же наряду с аксиоматизацией и математических) должно быть выражено с помощью

точным установлением логических средств понятия и системы аксиом столь полным образом, чтобы не было

выражения данной теории заменяются некоторыми необходимости при развертывании теории обращатьсимволическими

обозначениями, научная теория преся

к каким бы то ни было свойствам объектов, о ковращается

в формальную систему. Обычные содержаторых

идет речь в теории, помимо тех, что зафиксительно-

интуитивные рассуждения заменены в ней рованы в исходных утверждениях. Примером может

выводом (из некоторых выражений, принятых за исслужить

аксиоматизация геометрии Евклида Д. Гильходные)

по явно установленным и четко фиксированбертом.

ным правилам. Для их осуществления нет необходимости

принимать во внимание значение или смысл

выражений теории. Такая теория называется формаТаким

образом, формализация представляет собой

совокупность познавательных операций, обеспечивающих

отвлечение от значения понятий теории с целью

лизованной: она может рассматриваться как система исследования ее логических особенностей. Она позвоматериальных

объектов определенного рода (символяет

превратить содержательно построенную теорию

лов), с которыми можно обращаться как с конкретныв

систему материальных объектов определенного рода

ми физическими объектами. (символов), а развертывание теории свести к манипуРазличают

два типа формализованных теорий: лированию этими объектами в соответствии с некотополностью

формализованные, в полном объеме реализующие

перечисленные требования (построенные в

аксиоматически-дедуктивной форме с явным указанирой

совокупностью правил, принимающих во внимание

только и исключительно вид и порядок символов,

и тем самым абстрагироваться от того познавательноем

используемых логических средств), и частично

формализованные, когда язык и логические средства,

го содержания, которое выражается научной теорией,

подвергшейся формализации.

используемые при развитии данной науки, явным обВ

этом смысле можно сказать, что формализация

разом не фиксируются. Именно частичная формализатеории

сводит развитие теории к форме и правилу.

ция типична для всех тех отраслей знания, формализаТакая

формализация не только предполагает аксиомация

которых стала делом развития науки в первой тизацию теории, но и требует еще точного установлеполовине

XX в. (лингвистика, некоторые физические ния логических средств, необходимых в процессе ее

теории, различные разделы биологии и т.д.). Да и в развертывания. Поэтому формализация теории стала

самой математике математические теории выступают возможной лишь после того, как теория вывода и аксив

основном как частично формализованные. Только в оматический метод получили необходимое развитие.

современной формальной логике, в методологических, Обычно выделяют три качественно различных

метанаучных исследованиях полная формализация этапа или стадии развития представлений о существе

имеет существенно важное значение. аксиоматического метода. Первый — этап содержаНесмотря

на то, что при частичной формализации

ученые основываются на интуитивно понимаемой лотельных

аксиоматик, длившийся с появления «Начал»

Евклида и до работ Н.И. Лобачевского по неевклидогике,

такие теории могут рассматриваться как разновым

геометриям. Второй — этап становления абстраквидность

формализованных, поскольку, во-первых

(если в этом появится необходимость), можно явно

задать систему используемых логических средств и

тных (или, по другой терминологии, формальных) аксиоматик,

начавшийся с появления неевклидовых геометрий

и кончившийся с работами Д. Гильберта по

присоединить ее к аксиоматике частично формализооснованиям

математики (1900—1914 гг.). Третий —

206

ванной теории, во-вторых, в этом случае содержание

специфичных для данной теории понятий (например,

этап формализованных аксиоматик, начавшийся с появлением

первых работ Гильберта по основаниям ма207

шяшт • Тема 4 Мктоды научного исследования

тематики и продолжающийся до сих пор. С наиинтуитивно

очевидные допущения как геометрическобольшей

полнотой как достоинства, так и недостатки

первоначальной стадии развития аксиоматического

метода выражены в знаменитых «Началах» Евклида

го, так и логического характера. Тем самым, по существу,

оказывалось невозможным провести строго логическое

развертывание геометрии.

(III в. до н. э.). Тем не менее построение геометрии Евклидом

Изложение геометрии Евклид начинает с перечисслужило

образцом логической точности и строгости не

ления некоторых исходных положений, а все остальтолько

для математики, но и для всего научного знания

ные стремится так или иначе вывести из них. Далее, на протяжении многих веков. Однако постепенно, насреди

множества всех геометрических понятий, употчиная

примерно с XVIII в., наблюдается эволюция станребляемых

им, он выделяет такие, которые считает за дартов строгости и точности построения теории, что

исходные, а все остальные стремится определить ченеобходимо

порождало критическое отношение к собрез

них. Класс исходных положений (аксиом и постуственно

евклидовой традиции.

латов) и класс исходных геометрических понятий ЕвВ

формировании новых представлений о существе

клид рассматривает в качестве интуитивно ясных, сааксиоматического

метода особенно большое значение

моочевидных — таков тот важнейший критерий, по имело создание неевклидовых геометрий. Открытие

которому происходит разбиение всего множества геонеевклидовых

геометрий привело к существенному

метрических понятий и положений на исходные и изменению взглядов не только на геометрию Евклида,

производные. Все другие утверждения теории Евклид но и на вопрос о природе и критериях математической

выводит логическим путем из аксиом и постулатов. строгости и точности вообще. Введя в систему аксиом

В качестве отличительных черт той системы аксиновый

постулат о параллельных прямых, противореом,

на основе которой Евклид развертывает геометрию,

можно назвать следующие: во-первых, под аксиомами

понимаются интуитивно истинные высказывания, у

которых предполагается некоторое вполне определенчивший

интуитивному представлению о свойствах

окружающего пространства, стало невозможно получать

выводы, опираясь на очевидные, наглядные допущения.

Новый взгляд на место и роль интуитивно оченое

содержание, характеризующее свойства окружающего

пространства; во-вторых, не была указана явным

образом логика (т. е. правила вывода), опираясь на которую

Евклид строит геометрию. В ней интуиция и девидных

соображений в построении и развертывании

геометрии заставлял более строго отнестись к характеристике

допустимых логических средств вывода с

целью исключения интуитивных допущений как геодукция

шли рядом: недостаток дедукции восполняется метрического, так и логического характера.

наглядным примером — чертежом или построением

циркулем и линейкой. Более того, необходимость испольЗдесь

важно подчеркнуть и то обстоятельство, что

исследования неевклидовой геометрии поставили в центр

зования циркуля и линейки просто постулировалась. внимания понятие структуры; от проверки и доказательКонкретный,

содержательный характер аксиомаства

истинности отдельных (часто связанных между сотики

Евклида обусловил и весьма существенные недобой

лишь благодаря обращению к интуиции) предложестатки,

присущие первой стадии развития аксиоматиний

перешли к рассмотрению внутренней связанности

ческого метода. Раз предполагалось, что аксиомы гео(

совместимости) системы предложений в целом, к тракметрии

описывают интуитивно очевидные свойства товке истинности (и точности) как свойства системы,

пространства и логика не была строго очерчена, то независимо оттого, располагаем ли мы средствами прооставались

широкие возможности при дедукции из верки каждого предложения системы или нет.

.||оаксиом других геометрических утверждений вводить

дополнительные (помимо принятой системы аксиом)

Математические теории, построенные в соответствии

с теми представлениями о математической и

Тема 4

логической строгости, которые сформировались на

протяжении первых двух третей XIX в., были значительно

ближе к идеалу строго аксиоматического построения

теории. Однако и в них этот идеал — исключительно

логического выведения всех положений теории

из небольшого числа исходных утверждений — не был

реализован полностью. Во-первых, при развертывании

теории из принятой системы аксиом продолжали опираться

на интуитивно понимаемую логику, без явного

указания всех тех логических средств, с использованием

которых связан вывод из аксиом доказуемых

положений. Во-вторых, создание неевклидовых геометрий,

резко расходящихся с геометрической интуицией,

остро поставило вопрос об основаниях приемлемости

подобного рода теоретических построений. Эта

задача решалась путем нахождения способа относительного

доказательства непротиворечивости неевклидовых

геометрий. Суть этого метода состоит в том, что

для доказательства непротиворечивости неевклидовой

геометрии подыскивается такая интерпретация ее аксиом,

которая приводит к некоторой другой теории, в

силу тех или иных оснований уже признанной непротиворечивой.

До тех пор, пока система аксиом не находила

такой интерпретации, вопрос о ее непротиворечивости,

естественно, оставался открытым. К тому же

на рубеже XIX— XX вв. выяснилось, что теория множеств,

из которой в конечном счете черпались интерпретации

всех других математических систем, далеко

не безупречна в логическом отношении. В ней были

открыты различные противоречия (парадоксы), грозившие

разрушить величественное здание математики.

Все это указывало на необходимость разработки

некоторого другого способа доказательства непротиворечивости

аксиоматически построенных теорий. С его

разработкой в трудах Г. Фреге и Д. Гильберта окончательно

сформировался современный взгляд на аксиоматический

метод.

Обращаясь к проблеме непротиворечивости аксиоматически

построенных теорий, Д. Гильберт пытался

решить задачу следующим образом: показать относи

210 тельно некоторой заданной системы аксиом (той или

Методы научного исследования

иной рассматриваемой математической теории), что

применение определенного, строго фиксированного

множества правил вывода никогда не сможет привести

к появлению внутри данной теории противоречия.

Доказательство непротиворечивости,той или иной системы

аксиом, таким образом, связывалось уже не с

наличием некоторой другой непротиворечивой теории,

могущей служить интерпретацией данной системы

аксиом, а 1) с возможностью описать все способы

вывода, используемые при логическом развертывании

данной теории, и 2) с обоснованием логической безупречности

самих используемых средств вывода. Для

осуществления этой программы надо было формализовать

сам процесс логического рассуждения.

Возможность формализации процесса рассуждения

была подготовлена всем предшествующим развитием

формальной логики. Особо важное значение в

деле подготовки возможности формализации некоторых

сторон процесса логического рассуждения имело

обнаружение того факта, что дедуктивные рассуждения

можно описывать через их форму, отвлекаясь от

конкретного содержания понятий, входящих в состав

посылок.

Первоначальный этап развития теории формального

вывода связан с именем Аристотеля. Он впервые

ввел в логику переменные вместо конкретных терминов,

и это позволило отделить логические формы рассуждения

от их конкретного содержания. С середины

XIX в. был сделан решительный шаг к замене содержательного

рассуждения логическим исчислением, а

тем самым — к формальному представлению процесса

рассуждения. В работах Г. Фреге логика строится в

виде аксиоматической теории, что позволяет достичь

значительно большей строгости логических рассуждений.

В исчислениях современной формальной логики

метод формального рассмотрения процесса рассуждения

получает свое дальнейшее развитие.

Таким образом, возможность формализации отдельных

отраслей научного знания подготовлена длительным

историческим развитием науки. Потребовалось

более чем две тысячи лет для того, чтобы оказалось 211

Тема 4

возможным представить некоторые научные теории в

виде формальных систем, в которых (если в этом возникла

потребность) дедукция может совершаться без

какой-либо ссылки на смысл выражений или значение

понятий формализуемой теории. Сама же потребность

в формализации возникает перед той или иной наукой

на достаточно высоком уровне ее развития, когда задача

логической систематизации и организации наличного

знания приобретает первостепенное значение, а

возможность реализации этой потребности предполагает

огромную предварительную работу мышления,

совершаемую на предшествующих формализации этапах

развития научной теории. Именно эта огромная

содержательная работа мышления, предваряющая

формализацию, делает возможной и плодотворной замену

содержательного движения от одних утверждений

теории к другим операциям с символами.

Формальные системы, получающиеся в результате

формализации теорий, характеризуются наличием

алфавита, правил образования и правил преобразования.

В алфавите перечисляются исходные символы

системы. Требования, налагаемые на эти исходные

символы, таковы: они, во-первых, должны быть конструктивно

жесткими, чтобы мы всегда умели эти символы

как отождествлять, так и различать; во-вторых,

список исходных символов должен быть задан так,

чтобы всегда можно было решить, является ли данный

символ исходным.

Далее, как в содержательной теории ее производные

понятия определяются через исходные, так и в

формальной системе ее производные объекты конструируются

из исходных символов. Эти производные

объекты в формальной системе носят название формул

и задаются при помощи правил образования. Как

и к исходным символам, к правилам образования

предъявляется определенное требование: они должны

быть заданы так, чтобы всегда можно было решить,

служит ли данная последовательность символов формулой.

Правилами преобразования задаются аксиомы

212 формальной системы и правила вывода. Аксиомы и

Методы научного исследования

правила вывода составляют теоретическую часть формальной

системы. Список аксиом, как и список исходных

символов, может быть как конечным, так и бесконечным,

но в том и другом случае задание аксиом

должно быть таково, чтобы мы всегда могли решить,

является ли данная формула аксиомой. Правила вывода

задаются для того, чтобы, опираясь на аксиомы, получать

новые утверждения в формальной системе. Такие

доказуемые утверждения носят название теорем39.

Все. что было перечислено выше, относится к исходному

базису формальной системы. Для его задания

необходим какой-то язык, в терминах которого можно

было бы задать алфавит и сформулировать правила

образования и преобразования формул формальной

системы. Во всех тех случаях, когда один язык употребляется

для того, чтобы с его помощью говорить о

другом, первый язык называется метаязыком, а второй

— языком-объектом. В качестве метаязыка обычно

употребляется соответственным образом выбранная

часть естественного, например русского, языка. Если

в качестве метаязыка выступает какая-либо научная

теория (обычно называемая интуитивной или содержательной),

то конкретная формальная система, получающаяся

в результате ее формализации, называется

предметной теорией, а метаязык, с помощью которого

и в котором изучаются свойства языка-объекта (а соответственно

и выраженной с помощью этого языка

теории), называется метатеорией. В метатеории используются

обычные содержательно-интуитивные рассуждения,

они опираются на значение и смысл и выражаются

в естественном языке.

39 Конечная цепь формул такая, что каждая из этих формул

есть либо аксиома, либо выражение, непосредственно выводимое

из предшествующих формул по правилам вывода, называется доказательством

в формальной системе. Последняя формула доказательства

есть теорема. К понятию доказательства также

предъявляется требование, чтобы мы могли относительно любой

конечной последовательности формул решить, является ли она

Доказательством. К понятию теоремы такого требования не

предъявляется, хотя и существуют формальные системы, в которых

оно выполняется.

Тема 4

В метатеоретическом исследовании выделяются

два основных аспекта изучения свойств и возможностей

предметных теорий (формальных систем) —-синтаксический

и семантический. Та часть метатеории,

которая изучает предметную теорию в отвлечении от

того, что обозначают ее выражения, называется синтаксисом.

При синтаксическом исследовании имеют

дело с преобразованиями формул по строго установленным

правилам, без учета того, что они обозначают,

каково их отношение к конкретному содержанию теорий,

какой смысл имеют правила, по которым осуществляется

переход от одних формул к другим. Используемые

при этом методы называются формальными,

поскольку они опираются исключительно на вид и

порядок символов, из которых образовано то или иное

выражение. Именно эти методы представляют наивысший

на сегодняшний день стандарт логико-математической

точности.

Вместе с тем построение формальных систем, в

которых вместо содержательных выводов имеют дело

с преобразованиями формул по строго установленным

правилам и отвлекаются от того, что обозначают символы

и их комбинации, — только одна сторона метода

формализации. Формальные системы обычно строятся

для представления научной теории, построенной

содержательно-интуитивно, в виде таким образом упорядоченной

системы утверждений об области объектов,

изучаемой с ее помощью, чтобы класс истинных

ее предложений отобразить в класс выводимых в формальной

системе формул. Насколько достижима эта

цель возможно ответить лишь после того, как формальная

система получит интерпретацию. Грубо говоря,

интерпретация заключается в приписывании выражениям

формальной системы некоторого значения, в

результате чего они превращаются в нечто такое, что

может быть либо истинным, либо ложным.

Операции и методы, с помощью которых задается

интерпретация формальной системы, называются

семантическими. Если при синтаксическом иссле

214 довании имеют дело с преобразованиями формул по

Методы научного исследования

строго установленным правилам, без учета того, что

обозначают формулы, то в семантике, напротив, характеризуются

отношения между элементами из предметной

области той содержательной теории, для формализации

которой предназначается данная формальная

система с ее формулами (и их соотношениями).

Поэтому семантические понятия, операции и методы

в отличие от синтаксических, строго формальных методов

и средств исследования называют содержательными.

В результате последовательной формализации теории

то, что раньше воспринималось как некое единое

нерасчлененное целое, теперь благодаря методу

формализации обнаружило сложную и вместе с тем

ясную архитектонику. Это четкое расчленение формального

и содержательного компонентов знания,

это «раздвоение единого» явились одним из фундаментальных

шагов в понимании природы научного

знания.

Математическое моделирование

Математическая модель представляет собой абстрактную

систему, состоящую из набора математических

объектов. В самом общем виде под математическими

объектами современная философия математики

подразумевает множества и отношения между множествами

и их элементами. Различия между отдельными

объектами главным образом определяются тем, какими

дополнительными свойствами (т. е. какой структурой)

обладают рассматриваемые множества и соответствующие

отношения.

В простейшем случае в качестве модели выступает

отдельный математический объект, т. е. такая формальная

структура, с помощью которой можно от эмпирически

полученных значений одних параметров

исследуемого материального объекта переходить к

значению других без обращения к эксперименту. Например,

измерив окружность шарообразного предмета,

по формуле объема шара вычисляют объем данного

предмета.

Тема 4

—

Очевидно, ценность математической модели для

конкретных наук и технических приложений состоит в

том, что благодаря восполнению ее конкретно-физическим

или каким-либо другим предметным содержанием

она может быть применена к реальности в качестве

средства получения информации. С другой стороны,

только благодаря тому, что нам удается подбирать

такие объекты (процессы, явления), которые обладают

способностью служить восполнением модели, мы можем

посредством данной модели получить о них полезную

информацию.

Как отмечают Холл и Фейджин, для того, чтобы

объект можно было достаточно успешно изучать с помощью

математических методов, он должен обладать

рядом специальных свойств. Во-первых, должны быть

хорошо известны имеющиеся в нем отношения, вовторых,

должны быть количественно определены существенные

для объекта свойства (причем их число не

должно быть слишком большим), и в-третьих, в зависимости

от цели исследования должны быть известны

при заданном множестве отношений формы поведения

объекта (которые определяются законами, например

физическими, биологическими, социальными).

По существу, любая математическая структура

(или абстрактная система) приобретает статус модели

только тогда, когда удается констатировать факт определенной

аналогии структурного, субстратного или

функционального характера между нею и исследуемым

объектом (или системой). Другими словами, должна

существовать известная согласованность, получаемая

в результате подбора и «взаимной подгонки» модели и

соответствующего «фрагментареальности». Указанная

согласованность существует лишь в рамках определенного

интервала абстракции. В большинстве случаев

аналогия между абстрактной и реальной системой

связана с отношением изоморфизма между ними, определенным

в рамках фиксированного интервала абстракции.

Для того, чтобы исследовать реальную систему, мы

замещаем ее (с точностью до изоморфизма) абстракт

216 ной системой с теми же отношениями; таким образом

у в щ ы научного исследования

задача становится чисто математической. Например,

чертеж может служить моделью для отображения геометрических

свойств моста, а совокупность формул,

положенных в основу расчета размеров моста, его

прочности, возникающих в нем напряжений и т.д.,

может служить моделью для отображения физических

свойств моста.

Что же представляют собой в гносеологическом

смысле математические модели, т. е. математические

структуры (по выражению Н. Бурбаки), по отношению

к реальности независимо от их конкретной интерпретации?

Версия номинализма, согласно которой математика

есть просто язык, сам по себе не имеющий никакого

онтологического содержания, кажется, дает слишком

легкое решение вопроса. Если математические

уравнения, которые мы накладываем на определенную

экспериментально фиксируемую область с целью упорядочения

фактуальной информации и перевода ее на

точный количественный язык, — если эти уравнения

есть лишь чисто ментальная конструкция ума, то чем

объяснить их поразительную «предопределенность»,

приспособленность к фактическим ситуациям? Если об

абстрактных объектах ничего не известно, кроме соотношений,

которые существуют между ними в рамках

формальной системы и, следовательно, их природа не

дает указаний на какую бы то ни было связь с внеязыковой

реальностью, если их единственная спецификация

состоит в том, что они согласуются со структурой

системы, определяемой исходными аксиомами, то все

же остается вопрос: «Что побуждает нас принять за

основу определенную избранную нами систему аксиом?

Непротиворечивость для этого необходима, но не

Достаточна».

То, что математика есть некий особый язык, используемый

человеком в процессе познания, это очевидно.

Поэтому уже один только перевод какой-либо

качественной задачи на четкий, однозначный и богатый

по своим возможностям язык математики позволяет

увидеть задачу в новом свете, прояснить ее содер

жание. 217

Тема 4

Однако математика дает и нечто большее. Характерным

для математического способа познания является

использование «дедуктивного звена», т. е. манипулирование

с объектами по определенным правилам

и получение таким путем новых результатов. И наконец,

любая нетривиальная система математических

объектов заключает в себе явно или неявно некоторую

исходную семантику, некоторый способ «видения

мира». Именно этим в первую очередь определяется

ценность математического моделирования реальности.

Два типа математических моделей: модели описания

и модели объяснения. Обращение к истории

науки позволяет выделить два типа теоретических схем,

основанных на двух видах математических моделей,

применяемых в конкретных науках и технических приложениях,

— моделях описания и моделях объяснения.

В истории науки примером модели первого вида может

служить схема эксцентрических кругов и эпициклов

Птолемея. Математический формализм ньютоновской

теории тяготения является соответствующим примером

модели второго вида.

Модель описания не предполагает каких бы то ни

было содержательных утверждений о сущности изучаемого

круга явлений. Известно, что птолемеевская

модель обеспечивала в течение почти двух тысяч лет

возможность поразительно точного вычисления будущих

наблюдений астрономических объектов. Ошибочность

птолемеевской системы заключалась вовсе не в

самой математической модели, а в том, что с используемой

моделью связывались физические гипотезы, и к

тому же такие, которые лишены научного содержания

(в частности, тезис о «совершенном» характере движения

небесных тел).

Для моделей описания характерно то, что здесь

и

соответствие между формальной и физической струк

н турой не обусловлено какой-либо закономерностью и

. ..

носит характер единичного факта. Отсюда глубина

^1

•

восполнения модели описания для каждого объекта или

системы различна и не может быть предсказана теоретически.

Задача определения глубины восполнения

решается поэтому всегда эмпирически.

Методы научного исследования

Применимо ли понятие истины и лжи для моделей

описания? В строгом смысле, по-видимому, нет. К ним

применим скорее критерий полезности, чем истинности.

Модели описания бывают «хорошими» и «плохими

»- «Плохая» модель — это либо слишком элементарная

модель (в этом случае она тривиальна), либо слишком

сложная (и тогда она малоэффективна ввиду своей

громоздкости). «Хорошая» модель — это модель, сочетающая

в себе достаточную простоту и достаточную

эффективность.

Модели объяснения представляют собой качественно

иной вид познавательных моделей. Речь

идет о тех случаях, когда структура объекта (или

система) находит себе соответствие в математическом

образе в силу внутренней необходимости. Здесь

модель есть уже нечто большее, чем простая эмпирическая

подгонка, ибо она обладает способностью

объяснения. Если математический формализм адекватно

выражает физическое содержание теории и

выступает моделью объяснения, то он становится не

только орудием вычисления и решения задач в уже

известной области опыта, но и средством генерирования

новых физических представлений, средством

обобщения и предсказания. Например, из уравнений

Ньютона можно вывести закон сохранения

импульса, из уравнений Максвелла — идею о физическом

родстве электромагнитных и оптических

явлений, из уравнений Дирака— существование

позитрона и т. д.

Рассмотрим характерные гносеологические свой

ства моделей объяснения.

1. Способность к кумулятивному обобщению. Хотя

любая модель в своем становлении в качестве

объясняющей теории имеет вначале весьма ограниченную

эмпирическую базу, ее гносеологическая

ценность обнаруживается в том, что она

способна к экстенсивному расширению, к экстраполяции

на новые области фактов. Механизм

обобщения при этом не предполагает изменения

исходной семантики теории или порождения новой

семантики. 219