Пример 18.

В обеде покупатели приходят в магазин в среднем по 27 человек в час. Прибытие может быть описано распределением Пуассона со средней вели­чиной 27. Каждый продавец обслуживает клиента в среднем за 3 мин. Это время может быть описано экспоненциальным распределением со средним значением 3. Определить темпы прибытия и обслуживания, среднее число обслуженных клиентов, предположив, что среднее число ожидающих в оче­реди посетителей 2,7. Рассчитать среднее число посетителей в системе, сред­нее время ожидания и среднее время нахождения в системе. Определить за­грузку системы для количества 2,3,4 каналов.

Решение.

= 27 чел/час – темп прибытия посетителей.

= 3 мин. чел/час – темп обслуживания.

r = 27 / 20 = 1,4 чел. – среднее число обслуженных клиентов.

L_s = 2,7 + 1,4 = 4,1 чел. – число клиентов в системе.

W_q= 2,7 / 27= 0,1 часа – 6 мин. – среднее время ожидания в очереди.

W_s = 3+6=9 мин. – среднее время в системе.

Для 2 каналов = .

Для 3 каналов = .

Для 4 каналов =

Пример 19

Банк планирует открыть дополнительную кассу для обслуживания граждан. Работать будет один кассир. Предполагается, что в среднем будут обра­щаться 23 клиентов в час. Применяя распределение Пуассона, время обслу­живания описывается экспоненциальным законом и среднее время обслужи­вания, рассчитанное на основе прошлого опыта примерно 2,5 мин. на чел. Определить загрузку системы, процент времени простоя системы, предпола­гаемое число клиентов ожидающих обслуживания, среднее время, которое клиент проведет в системе, вероятность нулевого числа клиентов в системе, вероятность нахождения в системе 5 человек.

Решение.

чел/час

=2,5 мин. = 24 чел/час

= 0,96 – загрузка системы.

1 – 0,96 = 0,04 – 4% время простоя.

L_q = чел.- число клиентов ожидающих обслуживания.

W_q = 22 / 23=0,96 часа или 57,6 мин.

W_s = 57,6 + 2,5 = 60,1 мин.- среднее время, которое клиент проведет в сис­теме.

Р₀ = 1 – 23/24=0,04 – 4% - вероятность нулевого числа клиентов в системе.

Р₅ = 0,04 0,96⁵ = 0,03 – 3% - вероятность нахождения в системе 5 человек.

Пример 20

Таксомоторная компания держит 10 машин на стоянке в аэропорту. По под­счетам компании к концу дня в будний день поступление заказов от клиентов под­чиняется закону Пуассона со средним значением 7,2 чел/час. Время обслу­живания описывается экспоненциальным распределением со средней вели­чиной 45мин. на клиента. Предполагается в машину садиться один человек. Определить все показатели работы многоканальной системы и загрузку сис­темы.

Решение.

чел/час – темп прибытия клиентов.

=45 мин. = 1,3 чел/час – темп обслуживания клиентов.

М = 10 каналов (авто)

= 5,5

Чтобы определить L_q и Р₀ воспользуемся таблицей модели бесконечного по­тока (см. приложение).

L_q = 0,077 – среднее число клиентов в очереди.

Р₀ = 0,004 – вероятность нахождения в системе нулевого числа клиентов.

W_a = - среднее время ожидания в очереди.

- загрузка системы.

P_w = 5,5¹⁰ - 6,2% - вероятность того, что прибывшему клиенту придется ждать обслуживания.