2.8.4 Соотношение неопределенностей

Двойственная природа микрочастиц, вынуждающая описывать их с привлечением как волновых, так и корпускулярных представлений, ставит вопрос о применимости понятий классической физики для объектов микромира. В классической механике состояние любого макрообъекта описывается значениями координат, импульса, энергии и т.д. Все эти динамические переменные в каждый момент времени имеют вполне определенные значения. Однако при измерениях этих переменных для микрообъектов не для всех получаются определенные значения. Волновая природа микрочастиц приводит к тому, что они не могут одновременно обладать точными значениями координаты и импульса, энергии и времени. Так, понятие “длина волны в данной точке” лишено физического смысла. Поскольку импульс выражается через длину волны, то микрочастица с определенным импульсом имеет полностью неопределенную координату. И наоборот, если микрочастица находится в состоянии с точным значением координаты, то ее импульс полностью не определен. Это обстоятельство отражается в соотношениях неопределенностей, полученных в 1927 г. В. Гейзенбергом:

xp_х ≥ ħ/2, Et ≥ ħ/2, (2.8.2)

где x, p_х, E, t – соответственно неопределенности координат, импульса, энергии и времени. Пары величин, входящие в (2.8.2), называются канонически сопряженными. Таким образом, произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка ħ. Чем меньше неопределенность одной из переменных (х или p_х), тем больше неопределенность другой. Возможно такое состояние, в котором одна из переменных имеет точное значение, в этом случае вторая переменная оказывается полностью неопределенной.

Соотношение неопределенностей вызвало многочисленные дискуссии. Были попытки объяснить невозможность одновременного точного определения координаты и соответствующей проекции импульса не спецификой микрообъектов, а несовершенством измерительных приборов и методов измерения. Однако такие попытки являются несостоятельными.

Соотношение неопределенностей, отражая специфику микрообъектов, позволяет оценить, в какой мере к ним можно применять понятия классической физики, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени вполне определенными значениями координат и скорости. Учитывая связь между импульсом и скоростью p=mV, соотношения (2.8.2) можно представить в виде:

xV_x ≥ ħ/2m. (2.8.3)

Из последнего выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Уже для макрочастицы размером всего 1 мкм неопределенности значений x и V_x оказываются за пределами точности измерения этих величин, так что практически ее движение будет неотличимо от движения по траектории. При определенных условиях даже движение микрочастицы может приближенно рассматриваться как происходящее по траектории. Так, движение электронов в электронно-лучевой трубке практически неотличимо от движения по траектории. Однако поведение электрона в атоме не подчиняется законам классической физики и для его описания приходится использовать представления квантовой механики.

Соотношение неопределенностей является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов. В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и минимальную возможную энергию электрона в таком атоме. Если бы электрон упал на ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с соотношением Гейзенберга. Это соотношение требует, чтобы неопределенность координаты r и неопределенность импульса p были связаны условием (2.8.2).