6. Санау жүйесі туралы түсінік. Екілік, сегіздік, ондық, он алтылық санау жүйесі. Санау жүйелерін ауыстыруға мысал келтіріңіз.

САНАУ ЖҮЙЕЛЕРІ ТУРАЛЫ ТҮСІНІК

Сандарды цифр деп аталатын арнайы символдардың көмегімен бейнелеу қабылданған.

Сандарды атау және жазу ережелері мен әдістерінің жинағын- санау жүйесі деп атайды.

Санау жүйесі

Санау жүйесі екі топқа бөлінеді: позициялық және позициялық емес.

Позициялық емес санау жүйесінде әрбір цифрдің мәні оның алатын орнына байланысты емес. Мұндай санау жүйесінің мысалы ретінде римдік жүйені алуға болады. Осы жүйеде жазылған XXX санында X цифрі кез келген позицияда 10 - ды (онды) білдіреді. Позициялық емес санау жүйесінде арифметикалық әрекеттерді орындау біраз қиын болғандықтан, бүкіл дүние жүзі біртіндеп позициялық санау жүйесіне ауысты.

Позициялық санау жүйесінде цифрдің мәні оның орнына (позициясына) байланысты болды. Позициялық санау жүйесінің негізі деп жүйедегі пайдаланылатын цифрлар санын айтады. Негізі q санау жүйелерінің әрқайсысында сандардың жазылуы

аn-1 „., q n-1 + а а.2 q n-2 +.+ a 1q' + a0q° + a -1q -1 +.+ a.-m

өрнегінің қысқартылған жазылуын білдіреді, мұнда   а- санау жүйесінің цифрлары: n мен m - сәйкес бүтін және бөлшек разрядтардың саны.

ОНДЫҚ САНАУ ЖҮЙЕСІ

Бұл жүйеде сандарды жазу үшін он цифр қолданылады- 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Ондық жүйе позициялық болып табылады, өйткені ондық санның жазылуында цифрдың мәні оның позициясына немесе сандағы орнына байланысты.

Санның цифрына бөлінетін позицияны разряд деп атайды

Мысалы, 425 санының жазуы санның 4 жүздіктен, 2 ондықтан және 5 бірліктен тұратынын білдіреді. Егер осы цифрларды басқа ретте жазатын болсақ, мысалы, 524, онда сан 5 жүздіктен, 2 ондықтан жєне 4 бірліктен тұрады. Мұнда 5 цифрының салмағы ең үлкен болады да, санның үлкен цифры деп аталады, ал 4 цифры - кіші салмаќты және осы санның кіші цифры деп аталады. Егер 524 санын қосынды түрінде жазсақ,

                                                                     5*102+2*10'+4*10°

осы жазбадан цифрлар салмағының айырмашылығы айқын көрінеді, бұл жазбадағы 10 саны- санау жүйесінің негізі. Санның әрбір цифры үшін,  10 негізі цифрдың сандағы орнына байланысты дәрежеленеді де, осы санға көбейтіледі.

384,9506 = 3* 102+8*10І+4*10°+9*10-1+5-І:10-2+0*10-3+6*10-4;

856,25=8*102+5*101+6*10°+2*10-1+5*10-2;

12937,1=1*104+2*103+9*102+3*101+7*10°+1*10-1

ЕКІЛІК САНАУ ЖҮЙЕСІ

Компьютерде, әдетте ондық емес, позициялық екілік санау жүйесі,   яғни негізгі «2» санау жүйесі қолданылады.

Екілік жүйеде кез келген сан екі 0 және 1 цифрларының, көмегімен жазылады және екілік сан деп аталады.

Екілік санды тек 0 мен 1 цифрларынан тұратын ондық саннан ажырату үшін, екілік санның жазбасының индексіне екілік санау жүйесінің белгісі тіркеледі, мысалы, 110101,1112

Екілік санның әрбір разрядын (цифрын) бит деп атайды. Екілік  санау  жйесінің  маңызды  кұндылығы-цифрларды  физикалық  кескіндеудің ыңғайлығы (мысалы,  1  цифрына электр кернеуінің бар болуы, ал 0 цифрына электр кернеуінің жоқ болуы сәйкес келуі мүмкін) және компьютер құрылғысының, атап айтқанда екілік сандармен арифметикалық және логикалық операцияларды орындауға арналған арифметикалық - логикалық құрылғысының қарапайымдылығы. Мысалы, 1010101,101

1*26+0*25+1*24+0*23+1*22+0*21+1*2°+1*2-1+0*2-2+1*2-3.

Берілген мысалда екілік сан жеті орынды бүтін және үш орынды бөлшек бөліктерден тұрады.    Сонымен,    1010101    екілік    саны    85,625    ондық    санына    сәйкес    немесе 1010101,1012=85,62510.

АУЫСТЫРУ ЕРЕЖЕСІ. Санды екілік жүйеден ондық санау жүйесіне ауыстыру үшін, екілік санды коэффициент-цифрларымен екінің дәрежелерінің көбейтінділерінің қосындысы түрінде жазып, осы қосындыны табу керек.

Кемшілігі- санды бұл жүйеде жазу үшін 0 мен 1 цифрлары мейлінше көп қажет болатындығында. Сондықтан екілік жүйені, қағида бойынша компьютердің «ішкі қажеттілігі» үшін қолданады, ал адамның компьютермен жұмыс істеуі үшін, үлкен негізді санау жүйесін таңдайды.

СЕГІЗДІК САНАУ ЖҮЙЕСІ

Сегіздік санау жүйесі, яғни негізі 8 болатын санау жүйесінде сандар сегіз цифрдың көмегімен өрнектеледі: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Мысалы, 357 сегіздік санында жеті бірлік, бес сегіз және үш сегіздің квадраты бар, яғни 3578=3*82+5*81+7*80, мұнда 357 санының индексі "8" санау жүйесін білдіреді. Жазылған қосындыда ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық әрекеттерді орындай отырып, 3578=23910 аламыз, яғни 357 сегіздік саны 239 ондық санға сәйкес келеді.  

ОНАЛТЫЛЫҚ САНАУ ЖҮЙЕСІ

Екілік санау жүйесін компьютерден тыс жерде қолдану өте қолайсыз екенін атап өттік. Мысалы, 89512810=110110101000100110002.

Екілік санды жазуды қысқарту үшін негізі 16 болатын санау жүйесі қолданылады. Бұл жүйені оналтылық санау жүйесі деп атайды. Оналтылық позициялы санау жүйесінде санды жазу үшін ондық санау жүйесінің цифрлары 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 және жетпейтін алты цифрды белгілеу үшін ондық сандарының мәні 10, 11, 12, 13, 14 және 15 болатын сәйкес латын алфавитінің алғашқы үлкен әріптері: A, B, C, D, E, F қолданылады. Осылайша ондық жүйенің барлық цифрлары және сонымен қатар, латынның алты әріптері он алтылық жүйенің -"цифрлары" болып табылады.

Оналтылық жүйенің барлық цифрларын келтірейік: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B C, D, E, F. Оналтылық санау жүйесінде F санынан кейін F+1 саны келеді, ал ондық санау жүйесіндегі 15 санынан кейін 15+1=16 саны келеді деген жазуға сәйкес келеді.

Сондықтан, он алтылық санның түрі, мысалы, 3E5A1 болуы мүмкін. Осы санды негізі 16 болатынын ескеріп, қосындысы түрінде есептеп жазсақ, мынаны аламыз: ЗЕ5А116=3*164+E*163+5*162+A*161+1*16° Ондық жүйенің ережесі бойынша арифметикалық амалдарды орындай отырып және А=10, Е=14 ескерсек, ЗЕ5А116=25539310 санын аламыз. Ондық жүйеге қарағанда он алтылық жүйедегі санның ықшамды екендігін байқауға болады.