Микромодуль 1 элементы алгебры

Первоначально алгеброй называли учение о решении уравнений. За много столетий своего развития алгебра превратилась в науку, которая изучает операции и отношения на различных множествах.

В наши дни алгебра – одна из важнейших частей математики, находящая приложения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах. Поэтому не случайно уже в начальной школе дети знакомятся с такими алгебраическими понятиями, как выражение (числовое и с переменными), числовое равенство, числовое неравенство. Они изучают различные свойства арифметических действий над числами, которые позволяют рационально выполнять вычисления. В начальном курсе математики происходит знакомство младших школьников с различными зависимостями, отношениями, но чтобы использовать их в целях развития умственной деятельности детей, учитель должен овладеть некоторыми общими понятиями современной алгебры – понятием соответствия, отношения, алгебраической операции и др. Кроме того, усваивая математический язык, используемый в алгебре, учитель сможет глубже понять сущность математического моделирования реальных явлений и процессов.

ТЕМА 1.1 ЧИСЛОВЫЕ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА (С/Р)

Содержание

1. Выражения и их тождественные преобразования

2. Числовые равенства и неравенства

Основная литература 1, 2, 6, 11, 13, 14;

Дополнительная литература 17, 25, 33, 35, 39, 43

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Цель. Уточнить и углубить знания о выражениях (числовых и с переменными), о числовых неравенствах и равенствах.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Алфавит математического языка.

2. Выражения (числовые и с переменными), их тождественные преобразования.

3. Числовые равенства и неравенства, их свойства.

Основные понятия темы

• числовое выражение;

• значение числового выражения;

• выражение, не имеющее смысла;

• выражение с переменной (переменными);

• область определения выражения;

• тождественно равные выражения;

• тождество;

• тождественное преобразование выражения.

• числовое равенство;

• числовое неравенство

Практическая часть

Обязательные задания

1. Среди следующих записей укажите числовые выражения: а) 42: 5; б) 27; в) 32 + - ) : 14; г) 2  7 = 7  2; д) (17 + 130 : 10 – 15; е) 142  71  2.

2. Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматривать их на множестве натуральных чисел: а) (135+67)  12; б) (135 - 217):2; в) 362 : 4?

3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными: а) 8 + 0,3b; б) 21 – (4 + у); в) х + 2у  7; г) 32 : у + 3 = 5у?

4. Установите, какая область определения выражений, если рассматривать их на множестве действительных чисел: а) (3 – у) : 64; б) 64 : (3 – у); в) (5 + х) : ( х – 12).

5. Известно, что выражение называется по своему последнему действию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:

   Выражение	Название выражения
   (12  5 + 3 : (2 + 7 ) )  18
   (23 – 7  6 – 4 + 15) : (17 – 6)
   21 + (35  3 : 8- 14 :5)
   19 – 8 : 4 +5

6. Вычислите значение выражения: а) ((36 : 2 – 14)  (42  2 – 14) + 20) : 2; б) (72 : 12 – (18 – 15)) : (24 : 3 – 2  4); в) (16,583 : 7,21 + 54,68  853,2 + 28,82  0,1) : 1, 6 – 1,02.

7. Выясните, являются ли выражения 3 (4 - х) и 12 – 3х тождественно равными на множестве: а) {1, 2, 3, 4}; б) действительных чисел.

8. Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных чисел: а) 3р + 5а = 5а + 3р; в) 3р  5а = 5а  3р; б) 3р – 5а = 5 а -3р; г) 3р : 5а = 5а : 3р?

9. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений: а) 3245 =(300+20+4)5= 3005+205+45= 1500+100+20 = 1500+120 = 1620; б)9712 =(100 - 3) 12= 10012-312= 1200-36= 1100+(100-36)= 1164; в) 5 (1-2х)+ 10х = 5-10х+ 10х = 5.

10. Объясните, почему отношение «иметь одно и то же значение на множестве числовых выражений является отношением эквивалентности. Какие следствия из этого факта используются при выполнении тождественных преобразований числовых выражений?

11. Упростите выражение путем тождественных преобразований: а) 6 (2аb-3)+2а (6b-5); б) (12а-16b):4 - (10а-4b).

12. Сравните значения выражений, не выполняя действий: а) (30+56)  5 и 305+565; б) (19+4)  7 и 197+107; в) (14-7)  6 и 16  6 - 76; г) (18 - 9) 7 и 18  7 – 11  7.

13. Решите задачу; решение запишите в виде выражения:

а) На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разбились на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?

б) В мастерской за 5 дней сшили 2000 фартуков. Сколько фартуков сошьют за 8 дней, если будут шить в день на 50 фартуков больше?

в) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 18 мин, а каждую следующую на 3 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?

13. Установите, какие из следующих числовых равенств и неравенств истинны:

а)

б)

в) 1, 0905 : 0,025 – 6,84  3,07 + 2,38 : 100  4, 8 : (0,04  0,006).

13. Проверьте, истинны ли числовые равенства: 1393 = 3139,1482 = = 4128, 2364 = 3246. Можно ли утверждать, что произведение лю­бых двух натуральных чисел не изменится, если в каждом множителе переставить цифры?

14. Известно, что х > у - истинное неравенство. Будут ли истинными следующие неравенства:

а) 2х  2у; в) 2х – 7  2у – 7;

б) - ; г) – 2х – 7  - 2у – 7 ?

16. Известно, что а < b - истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» или «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:

а) – 3,7 а * - 3,7 b; г) ^_ _* - ;

б) 0,12 а _* 0,12 b; д)-2(а+5) _* -2(b+5);

в) _{* ;} е) (а-1) _* (b-1).

16. Дано неравенство 5 > 3. Умножьте обе его части на 7; 0,1; 2,6; .

Можно ли на основании полученных результатов утверждать, что для любого положительного числа а неравенство 5а > 3а истинно?

16. Выполните задания, которые предназначаются ученикам на­чальных классов, и сделайте вывод о том, как трактуются в началь­ном курсе математики понятия числового равенства и числового не­равенства:

а) Запиши два верных равенства и два верных неравенства, исполь­зуя выражения: 9  3, 30 - 6, 3  9, 30 - 3.

б) Расставь скобки так, чтобы равенства были верными: 4 + 2  3 = 18; 31-10-3=24; 54-12+8=34.

в) Поставь вместо * знаки действий так, чтобы получились верные равенства: 3*6*2=9; 9*3*6=18.

Творческие задания

1. Какие ответы учеников вы будете считать правильными при вы­полнении ими задания - сравнить выражения, не вычисляя их значения: а) 70  32+9  32...7930+792; б)7  4+3  4...(7+8)  4; в) 8500:1700 ...8500:100:17; г) 24  6080 ...(6000+80)  24?

2. Составьте текстовую задачу, решение которой можно оформить в виде числового вы­ра­жения (12 + 9)  4. Сколькими арифметическими способами можно решить эту за­да­чу? Какова теоретическая основа разных способов арифметического решения этой задачи?

3. Составьте текстовые задачи, математическая модель которых: а) 17  3; б) (5 + 7 )  8; в) (25 + 43)  3.

4. Составьте текстовые задачи, математическая модель которых: а) 35 : 7; б) (21 + 18) : 3; в) (1 + 14) : 3.

ТЕМА 1.3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Содержание

1. Уравнения с одной переменной

2. Неравенства с одной переменной

Основная литература 2.6,10,11,13,14 ;

Дополнительная литература 17,25,32,33,35,38,43,53

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Цель. Углубить знания о числовых неравенствах и равенствах. Раскрыть трактовку понятий равенства и неравенства в начальном курсе математики.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Уравнения с одной переменной

2. Теоремы о равносильности уравнений с одной переменной

3. Неравенства с одной переменной

4. Теоремы о равносильности неравенств с одной переменной