Микромодуль 2 запись целых неотрицательных чисел и алгоритмы действий над ними

Тема 2.1. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля (с/р).

Основная литература 13,14;

Дополнительная литература 15,26,27

Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел

Цель. Раскрыть различные подходы к записи целых неотрицательных чисел. Обосновать методические подходы к обучению младших школьников способам записи чисел в десятичной системе счисления.

Теоретическая часть

1. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля

2. Понятие системы счисления

3. Позиционные и непозиционные системы счисления

4. Запись и названия чисел в десятичной системе счисления

Основные понятия темы

• Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.

• Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

• В по­зиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.

• Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чи­сел всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.

• Примером такой системы может служить римская система, возникшая в средние века. В этой системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обо­значается - I, пять - V, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D, тысяча - М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания.

• Десятичная запись натурального числа – это его представление в виде

Х = а_n  10 ⁿ + а _{n – 1}  10 ^{n – 1} + …+ а₁  10 + а₀ = , где а_n, а _{n – 1},…, а₁, а₀ принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а _n 0.

• В таком виде можно записать любое натуральное число и запись эта единственная.

Практическая часть

Обязательные задания

1. Запишите в десятичной системе счисления: XXVII, XLIV, XXI, LXII, LXXVIII, XCV, CDXXIII, MCDVII, MCDXIX, MDCCCLXXI.

2. Запишите в римской системе счисления: 24, 117, 468, 1941, 1997, 2001.

3. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых: а) 4725; б) 3370; в) 10255.

4. Какие числа представлены следующими суммами: а) 6•10³+5•10+8; б) 7•10³+ 1•10; в) 8•10⁴+10³+3•10+1; г) 10⁵ + 10²?

5. Напишите наибольшее трехзначное и десятизначное числа, в ко­торых все цифры различны.

6. Решите арифметическим методом задачи из начального курса математики:

а) Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц. Найдите это число.

б) Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу. Цифра десятков обозначает число в 4 раза меньшее, чем цифра единиц. Какое это двузначное число?

Какие некорректности допущены в формулировках данных задач? Следует ли их исправлять?

7. Каждая цифра пятизначного числа на единицу больше преды­дущей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число?

Творческие задания

1. Выполните поиск решения задачи всеми способами. Решите задачу одним способом и про­верь­те, решив другим. Какие математические знания необходимы для решения данной за­да­чи? «На фабрике за три смены выработано 12840 м ткани. В первую смену выработали на 594 м больше, чем во вторую, а в третью - на 312 м меньше, чем в первую. Сколько мет­ров ткани выработали в каждую смену?».

2. Составьте план решения и решите задачу. Можно ли решить эту задачу по крайней мере двумя арифметическими способами? «При одинаковом урожае с 1 га с поля в 42 га получено картофеля на 91 т 7 ц боль­ше, чем с поля в 35 га. Весь собранный картофель сдан в три овощехранилища. В пер­вое сдано на 478 ц больше, чем во второе, а во второе - на 918 ц меньше, чем в третье. Сколько картофеля сдано в каждое овощехранилище?».

3. Решите задачу. Какой способ поиска арифметического решения задачи вы выбрали? «Рабочий выработал за смену в среднем 432 детали. Применив более рациональные спо­собы работы, он выработал в первый день 1528, а во второй день 2114 и в третий 2838 деталей. На сколько деталей и во сколько раз увеличилась средняя дневная вы­ра­ботка рабочего?».

4. Постройте модель задачи и решите ее. «Три большие реки России Обь, Лена и Амур имеют общую длину 14206 км. Обь и Ле­на вместе имеют длину 9852 км, Лена и Амур - 8623 км. Какова длина каждой из этих рек?».

5. Решите задачу. Какой метод решения задачи выбран? «Два автобуса отправились одновременно из города в спортивный лагерь, рас­сто­я­ние до которого 72 км. Первый автобус прибыл в лагерь на 15 мин. раньше второго. С ка­кой скоростью шел каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км в час боль­ше другого?».

6. Решите задачу и выполните ее проверку. «Двое мужчин купили для посадки 500 штук капустной рассады и заплатила поровну. На огороде у одного поместилось на 40 штук больше, чем у другого и он доплатил вто­рому 8 грн. Сколько рассады посадил каждый и сколько стоил 1 десяток рассады?».

7. Решите задачу арифметическим методом и выполните ее проверку. Методическое ука­за­ние: при арифметическом способе решения задачи предположите, что все бревна сосновые. Сколь­ко арифметических способов решения имеет данная задача? «На платформу погрузили 70 сосновых и еловых бревен общей массой 165 ц. Сос­но­вое бревно имело массу 210 кг, а еловое - 250 кг. Сколько было тех и других бревен?».

7. Младшим школьникам предложена задача: «Запиши 5 четырех­значных чисел, используя цифры 2, 5, 0, 6 (одна и та же цифра не должна повторяться в записи числа)». А сколько вообще всевозмож­ных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 5, 0 и 6 так, чтобы одна и та же цифра не повторялась в записи числа?