Основные понятия темы

• уравнение с одной переменной;

• корень уравнения;

• что значит решить уравнение;

• равносильные уравнения;

• неравенство с одной переменной;

• решение неравенства;

• что значит решить неравенство;

• равносильные неравенства.

Замечания, выводы

• рассмотрены теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.

• Знание определений всех названных выше понятий и теорем о рав­носильности уравнений и неравенств - необходимое условие методи­чески грамотного изучения с младшими школьниками алгебраическо­го материала.

Практическая часть

1. Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:

а) (х-3)  5= 12х; г) 3+(12-7)  5 = 16;

б) (х-3)  5= 12; д) (х-3)  у =12х;

в) (х-3)  17+ 12; е) х² - 2х + 5 = 0.

2. Уравнение 2х⁴ + 4х² -6=0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.

3. В уравнении (х + ...)(2х + 5) - (х - 3)(2х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.

4. Сформулируйте условия, при которых: а) число 5 является корнем уравнения f(х) = q(х); б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = q(х).

5. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:

а) 3+7х= - 4 и 2(3+7х)= - 8; б) 3+7х = - 4 и 6+7х = - 1; в) 3+7х = - 4 и х + 2=0.

6. Сформулируйте свойства отношения равносильности уравнений. Какие из них используются в процессе решения уравнения?

7. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

а) ; б) х - ; в) (2 – х) 2 – х ( х – 1,5) = 4.

8. Учащийся решил уравнение 5х + 15 = 3х + 9 следующим обра­зом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, полу­чил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на выражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод – данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?

9. Решите уравнение ; х R. Является ли число 2 корнем этого уравнения?

10. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:

а) (х + 70) • 4 = 328; в) (85х + 765): 170 = 98;

б) 560 : (х + 9) = 56; г) (х - 13581): 709 = 306.

11. Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:

а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каж­дой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?

б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время - со скоростью на 3 км/ч меньше. Най­дите скорость велосипедиста на первом участке пути.

12. Установите, какие из следующих записей являются неравенства­ми с одной переменной:

а) - 12 - 7х < 3х + 8; г) 12х + 3(х- 2);

б) 15(х + 2) > 4; д) 17-12  8;

в) 17 (13+8)< 14 - 9; е) 2х² + 3х – 4 > 0.

13. Является ли число 3 решением неравенства 6 (2х + 7) < 15(х + 2), х R? А число 4,25?

14. Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:

а)-17х < -51 и х > 3; б) > 0 и 3х – 1 >0; в) 6 - 5х > - 4 и х < 2?

15. Какие из следующих высказываний истинны: а) -7х < -28  х > 4; б) х < 6  х < 5; в) х < 6  х < 20?

16. Решите неравенство 3(х - 2) - 4(х + 1) < 2 (х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.

17. Докажите, что решением неравенства 2 (х +1) + 5 > 3 - (1-2х) является любое действительное число.

18. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 - х)-2 > 5- 3х.

19. Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника: а) меньше 22 см; б) больше 17 см?

Творческие задания

1. Решите задачу различными алгебраическими способами: «От деревни до совхоза 20 км, а от совхоза до станции 40 км. Из совхоза по направлению к станции выехал велосипедист со скоростью 12 км/час. Одновременно на станцию через совхоз по той же дороге отправился мотоциклист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы догнать велосипедиста до его приезда на станцию?».

2. Решите задачу алгебраическим и арифметическим методом: «В двух пачках всего 30 тетрадей, Если бы из первой пачки переложили во вторую 2 тетради, то в первой пачке стало бы вдвое больше тетрадей, чем в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке?».

3. Решите задачу алгебраически и проверьте, решив арифметически: «Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, от­сто­ящего от А на 20 км, выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/час, а мотоциклист со скорость. 16 км/час. на каком расстоянии от пункта А до­го­нит мотоциклист велосипедиста?».

4. Решите задачу арифметическим методом и проверьте, решив ее алгебраическим: «В двух кусках одинаковое количество тканей. После того как от одного куска от­ре­за­ли 18 м, а от другого 25 м, в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во вто­ром. Сколько метров ткани было в каждом куске?».

5. Решите задачу алгебраическим методом. Что в условии задачи явилось обоснованием к составлению уравнения? Бригада рабочих должна была за определенный срок изготовить 400 деталей. В те­чение 5 дней бригада перевыполнила дневную норму на 20 %, а в последующие дни изготовляла ежедневно по 15 деталей сверх плана и уже за два дня до срока из­готовила 405 деталей. Сколько деталей должна была изготовлять ежедневно бригада по плану?

6. Решите задачу. Какой метод решения задачи выбрали? как выполнили проверку решения за­дачи? Группа туристов отправилась на экскурсию из города А в город В на пароходе, а воз­вратилась обратно по железной дороге. Расстояние от А до В по воде 96 км, а по железной дороге 72 км. Поезда по железной дороге продолжалась на 2 час. 40 мин. меньше, чем на пароходе. Средняя скорость парохода на 30 км/час. меньше скорость поезда. Какова скорость движения парохода и поезда?