Микромодуль 3 геометрические фигуры

В последние годы наметилась тенденция к включению значитель­ного по объему геометрического материала в начальный курс матема­тики. Но для того, чтобы учитель мог познакомить учащихся с раз­личными геометрическими фигурами (как плоскости, так и простран­ства), мог научить их правильно изображать геометрические фигуры, ему нужна соответствующая математическая подготовка. Безусловно, нужны знания об истории возникновения и развития геометрии, так как ученик в процессе развития геометрических представлений прохо­дит, в свернутом виде, основные этапы создания геометрической нау­ки. Учитель должен быть знаком с ведущими идеями курса геометрии, знать основные свойства геометрических фигур, уметь их построить.

ТЕМА 3.1. СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ

Содержание

1. Понятие геометрической фигуры на плоскости

2. Определения и основные свойства плоскостных геометрических фигур (С/Р)

3. Площади плоских геометрических фигур (С/Р)

Основная литература 6,7,10,14 ;

Дополнительная литература 21,38,46,63

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Цель. Вспомнить основные понятия планиметрии и их свойства. Уметь решать практические задачи на их применение.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. История возникновения и развития геометрии.

2. Свойства геометрических фигур на плоскости: углы.

3. Параллельные и перпендикулярные прямые.

4. Треугольники.

5. Четырехугольники.

6. Многоугольники.

7. Окружность и круг.

Основные понятия темы

• отрезок, луч;

• угол (прямой, острый, тупой), смежные углы, вертикальные углы;

• параллельные прямые, перпендикулярные прямые;

• треугольник (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный, равнобедренный, равносторонний);

• четырехугольник (выпуклый, невыпуклый), параллелограмм, тра­пеция, прямоугольник, ромб, квадрат;

• многоугольник (выпуклый, невыпуклый), многоугольная фигура;

• окружность, касательная к окружности, круг.

Практическая часть

Углы

1. Назовите свойства угла, которые включены в его определение. Можете ли вы назвать другие свойства понятия “угол”?

2. Вспомните определение биссектрисы угла. Как, не используя чертежных инструментов, найти биссектрису угла, вырезанного из бумаги?

3. Сколько окружностей можно провести через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки, не лежащие на одной прямой?

4. Как расположены центры окружностей одного и того же радиу­са, проходящих через данную точку?

5. Как расположены центры окружностей, проходящих через две данные точки?

6. Окружность разделена в отношении 1:2:3, и точки деления соединены между собой отрезками. Определите углы полученного треугольника.

7. Докажите, что все углы, опирающиеся на диаметр окружности прямые.

8. Угол между двумя радиусами равен 150°. Определите угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов.

9. Как найти центр окружности, если он неизвестен?

10. В данной окружности проведены два диаметра и концы их попарно соединены хордами. Докажите, что получившийся четырехугольник - прямоугольник.

11. В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить фонарь, чтобы все три угла были одинаково освещены?

12. В треугольной пластине нужно так просверлить отверстие, чтобы оно было равноудалено от ее сторон. Где находится центр этог отверстия?

13. Стекольщику надо вырезать стекло для окна круглой формы. Как и что он должен измерить, чтобы вырезать нужное стекло, располагая только рулеткой.

14. Острый угол между диагоналями прямоугольника 60°, меньшая его сторона 1,5 дм. Вычислите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

15. Угол при вершине равнобедренного треугольника 120°, боковая его сторона 4 дм. Вычислите диаметр окружности, описанной около треугольника.

Параллельные и перпендикулярные прямые

16. Какие свойства параллельных прямых включены в их определе­ние и в аксиому параллельных?

17. Как построить параллельные прямые с помощью линейки и чер­тежного треугольника? На каком признаке параллельности основано это построение?

18. Верны ли следующие утверждения:

а) Если две прямые пересечены третьей, то соответственные углы равны.

б) Если при пересечении двух параллельных прямых третьей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

19. Как практически проверить, параллельны ли две данные пря­мые, начерченные на бумаге?

20. Докажите, что две прямые, лежащие в одной плоскости и пер­пендикулярные к одной и той же третьей прямой, параллельны между собой.

21. Углы АВС и СВD - смежные, угол СВD равен . Определите угол между перпендикуляром, проведенным из точки В к прямой АD, и биссектрисой угла АВС.

Треугольники

19. Можно ли из палочек длиной 10 см, 6 см, 4 см сложить тре­угольник?

20. Как установить, равны два треугольника или нет?

21. Назовите свойства равнобедренного треугольника. Какие из них содержатся в определении, а какие надо доказывать?

22. Отвечают ли требованиям, предъявляемым к определениям по­нятий, следующие формулировки:

а) Треугольник, у которого две стороны и два угла равны, называ­ется равнобедренным.

б) Средней линией треугольника называется прямая, проходящая через середины двух его сторон.

в) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон и параллельный основанию.

26. Могут ли равносторонние треугольники быть: а) прямоуголь­ными; б) тупоугольными? Ответ обоснуйте.

27. Установите вид треугольника (по углам), если один из его внут­ренних углов: а) равен сумме двух других; б) больше суммы двух дру­гих; в) меньше суммы двух других.

28. Можно ли какой-нибудь треугольник разрезать на два остро­угольных?

29. Прямая р пересекает отрезок А В в точке О, являющейся его сере­диной. Докажите, что точки A и В находятся на одинаковом расстоя­нии от прямой р.

30. Отрезки АВ и СО пересекаются в точке О, являющейся середи­ной каждого. Докажите, что АС и ВО параллельны.

31. Столяру нужно заделать отверстие треугольной формы. Какие он должен снять размеры, чтобы изготовить латку? Что он должен изме­рить, если отверстие имеет форму: а) прямоугольного треугольника; б) равностороннего треугольника?

Четырехугольники

26. Постройте параллелограмм АВСD и его высоты, выходящие из вершины С.

27. Обоснуйте следующий способ построения параллелограмма, предложенный младшим школьникам: «Проведи две пересекающиеся прямые. При помощи циркуля отложи на одной прямой от точки пе­ресечения равные отрезки. Затем на другой прямой таким же образом отложи равные отрезки (не обязательно такой же длины, что и на первой прямой). Получится параллелограмм».

28. Докажите, что всякий параллелограмм, у которого диагонали равны, есть прямоугольник.

29. Мастерская изготовила пластины четырехугольной формы. Как проверить, будет ли пластина иметь форму прямоугольника, распола­гая лишь линейкой с делениями.

30. Мастеру надо изготовить щит, который должен полностью за­крыть нишу прямоугольной формы. Какие он должен снять размеры, чтобы изготовить этот щит?

31. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

32. Докажите, что почтовый конверт склеивается из листа бумаги, имеющей форму ромба (припуски на склеивание не учитывать).

33. Паркетчик, проверяя, имеет ли выпиленный четырехугольник форму квадрата, убеждается, что диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Достаточна ли такая проверка?

34. Столяру нужно изготовить подставку в форме четырехуголь­ника. Какие размеры должен он иметь для выполнения заказа? Что должен измерить столяр, если подставка имеет форму: а) параллело­грамма; б) прямоугольника; в) ромба; г) квадрата?

35. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

36. Докажите, что отрезки прямых, соединяющих середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.

37. Земельный участок, имеющий форму трапеции, отдан под спор­тивный городок. Какие размеры должен снять землемер, чтобы начер­тить план этого участка?

Многоугольники

26. Сформулируйте определение простой замкнутой ломаной и по­стройте такую фигуру.

27. Расстояние от пункта А до пункта В равно 3 км, а от пункта В до пункта С вдвое больше. Каково наибольшее и наименьшее расстояние от пункта А до пункта С?

28. Могут ли все углы выпуклого четырехугольника быть: а) тупыми; б) острыми; в) прямыми?

29. Сколько прямых углов может иметь: а) параллелограмм; б) тра­пеция?

30. Дан квадрат, разрезанный по диагонали на два треугольника. Сколько выпуклых многоугольников, отличных от квадрата, можно составить из этих треугольников?

31. Квадрат разрезан по своим диагоналям. Сколько выпуклых многоугольников, отличных от квадрата, можно составить из четырех образовавшихся треугольников?

32. Разрежьте по диагонали произвольный прямоугольник и из по­лученных треугольников составьте всевозможные выпуклые много­угольники.

33. Назовите свойства правильного многоугольника. Можете ли вы привести пример многоугольника, не являющегося правильным, но имеющего: а) все равные между собой углы; б) все равные стороны?

34. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутрен­них углов равна 40d?

35. Можно ли сложить паркет из правильных: а) треугольников, б) пя­тиугольников; в) восьмиугольников; г) восьмиугольников и квадратов?

Круг и окружность

26. Сколько окружностей можно провести через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки, не лежащие на одной прямой?

27. Как расположены центры окружностей одного и того же радиу­са, проходящих через данную точку?

28. Как расположены центры окружностей, проходящих через две данные точки?

29. Окружность разделена в отношении 1:2:3, и точки деления соедине­ны между собой отрезками. Определите углы полученного треугольника.

30. Докажите, что все углы, опирающиеся на диаметр окружности, прямые.

31. Угол между двумя радиусами равен 150°. Определите угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов.

32. Как найти центр окружности, если он неизвестен?

33. В данной окружности проведены два диаметра и концы их попар­но соединены хордами. Докажите, что получившийся четырехуголь­ник - прямоугольник.

34. В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить фонарь, чтобы все три угла были одинаково освещены?

35. В треугольной пластине нужно так просверлить отверстие, что­бы оно было равноудалено от ее сторон. Где находится центр этого отверстия?

36. Стекольщику надо вырезать стекло для окна круглой формы. Как и что он должен измерить, чтобы вырезать нужное стекло, распо­лагая только рулеткой.

37. Острый угол между диагоналями прямоугольника 60°, меньшая его сторона 1,5 дм. Вычислите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

38. Угол при вершине равнобедренного треугольника 120°, боко­вая его сторона 4 дм. Вычислите диаметр окружности, описанной около треугольника.