Основные понятия темы

• дробь (правильная и неправильная);

• равные дроби;

• несократимая дробь;

• положительное рациональное число;

• равенство положительных рациональных чисел;

• смешанная дробь;

• десятичная дробь;

• бесконечная периодическая десятичная дробь;

• бесконечная непериодическая десятичная дробь;

• иррациональное число;

• действительное число.

Замечания, выводы

• Отношение равенства дробей есть отношение эквивалентности и воспользовавшись этим определяют понятие положи­тельного рационального числа.

• Сложение и умножение положительных рацио­нальных чисел связано с изме­рением длин отрезков; получены формулы для нахождения их суммы и про­изведения.

• Определение отношения «меньше» на множестве Q₊ позволило на­звать его основные свойства: оно упорядоченное, плотное, в нем нет наименьшего и наибольшего числа.

• Доказано, что множество Q₊ положительных рациональных чисел удовлетворяет всем тем условиям, которые позволяют его счи­тать расширением множества N натуральных чисел.

• Введя десятичные дроби доказано, что любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической деся­тичной дробью.

• Бесконечные непериодические дроби считают записями иррацио­нальных чисел.

• Если объединить множества положительных рациональных и ир­рациональных чисел, то получаем множество положительных дейст­вительных чисел: Q₊J₊ = R₊

• Если к положительным действительным числам присоединить от­рицательные действительные числа и нуль, то получаем множество R всех действительных чисел.

Обязательные задания

1. Известно, что длина отрезка х при единичном отрезке b выража­ется дробью . Как могла получиться такая дробь при измерении длины отрезка х? Существуют ли другие дроби, выражающие длину отрезка х при том же единичном отрезке е?

2. Выберите единицу длины и постройте отрезок, длина которого выражается дробью: а) ; б) ; в) .

3. Как установить, равны ли дроби: а) и ; б) и .

4. На множестве дробей отношение равенства. Постройте граф этого отношения. Каковы особенности этого графа? С чем они связаны?

5. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а) и б) и ; в) и

6. Найдите несократимую дробь, равную следующей: а) б) в) г) ; д) .

7. Рациональное число представлено дробью . Может ли оно быть представлено дробью ? А дробью ?

8. Какие из следующих дробей несократимые: а) б) в)

9. Вычислите значения следующих выражений, записав их в виде несократимых дробей; выполненные преобразования обоснуйте: а) ; б) ; в) г)

12. Вычислите значения следующих выражений, записав их в виде несократимых дробей; выполненные преобразования обоснуйте: а) б) в)

13. Сравните числа: а) и б) и ; в) и ; г) и .

14. Найдите три дроби, которые заключены между дробями и .

15. Найдите значение следующих выражений: а) ;

б) в) .

16. Какие из данных чисел являются дробными: а) б) в) г)

17. Число 2 умножили на правильную дробь. Какое число получи­лось - больше или меньше числа 2? А если 2 умножить на неправиль­ную дробь?

18. Может ли при умножении числа 3 на правильную дробь полу­читься число: а) меньше 1; б) больше 1?

19. Запишите дроби в виде десятичных.

20. Запишите числа 7,11; 0,45; 13,745 в виде несократимых обыкно­венных дробей.

21. Какими будут численные значения следующих величин, если в качестве единицы длины взять 1 м:

а) 23 см 2 мм; в) 90 дм 16 см 8 мм;

б) 5м 17 дм; г) 1км 120м?

22. Выразите в килограммах: а) 1,52 т; б) 0,38 т; в) 13,6 г; г) 426,5 г.

23. Выразите в квадратных сантиметрах: а) 3,548 дм²; б) 3,9 м²; в) 635 мм².

24. Сформулируйте правила сложения и вычитания десятичных дробей; выполните действия:

а) 8,23 + 3,568; б) 7,395 - 6,27;

в) 12,364 + 17,729; г) 15,36-9,68.

25. Сформулируйте правило умножения двух десятичных дробей и объясните, почему в произведении запятой отделяют столько послед­них цифр, сколько их отделено в первом и втором множителях вместе.

26. Сформулируйте правило деления десятичных дробей; проиллю­стрируйте его на примере деления числа 4,62 на 0,2.

27. Расстояние от Земли до Солнца 150 млн. км. Скорость света 300 тыс. км/с. За сколько минут луч Солнца достигнет Земли?

28. Вычислите наиболее простым способом: а) 49,5 + 2,738 - 6,856 + (7,956 - 2,638); б) 4,3 - 3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6 : 1,44(0,1-0,02).

29. Не выполняя вычислений, сравните следующие произведения: а) 19,91199,2 и 1,9911992; б)1,992199,3 и 1,9921993.

30. Что больше: 35% от 40 или 40% от 35?

31. Увеличьте число: а) 60 на 10%; б) 80 на 2,5%.

32. Число х увеличили на 45%. Во сколько раз увеличили число?

33. Число х увеличили в 2,4 раза. На сколько процентов увеличили число?

34. Туристы прошли 75% маршрута и им осталось пройти еще 5,5 км. Какова длина маршрута?

35. Какие из следующих чисел можно записать в виде конечных десятичных дробей: а) б) в) г)

36. Следующие обыкновенные дроби запишите в виде десятичных: а) б) в) г)

Творческие задания

1. Докажите, что отношение «меньше» на множестве Q₊ является отношением порядка.

2. Решите задачи арифметическим способом.

а) Прямоугольник разделили на 8 равных частей. Сначала закрасили прямоугольника, потом , затем . Весь ли прямоугольник за­красили?

б) Мальчик отпил чашки черного кофе и долил молока, затем отпил чашки и опять долил молока, потом отпил еще чашки и снова долил молока. Наконец, он допил кофе с молоком. Чего больше выпил мальчик - кофе или молока?

3. Решите арифметическим методом задачи.

а) В трех гаражах помещается 460 машин. Число машин в первом гараже составляет числа машин, помещающихся во втором, а в третьем гараже в раза больше машин, чем в первом. Сколько ма­шин в каждом гараже?

б) Из двух пунктов, расстояние между которыми 25 км, вышли од­новременно навстречу друг другу два пешехода. Один из них прохо­дил в час на км больше другого. С какой скоростью шел каждый, если через 2 ч после выхода расстояние между ними стало км?

в) Двум машинисткам было поручено перепечатать рукопись. Пер­вая машинистка перепечатала всей рукописи, а вторая - всей рукописи. Сколько страниц в рукописи, если первая машинистка пе­репечатала на 7 страниц больше, чем вторая?

г) В первом вагоне в раза больше груза, чем во втором. Если из первого вагона выгрузить т, а во второй добавить 14 т, то груза в вагонах будет поровну. Сколько тонн груза в каждом вагоне?

4. Решите задачи арифметическим методом.

а) Турист прошел в первый день всего маршрута, во второй день 40 % остатка, после чего ему осталось пройти на 6,5 км больше, чем он прошел во второй день? Какова длина маршрута?

б) На уборке улицы работают две машины. Первая из них может уб­рать всю улицу за 40 мин, второй для этого требуется 75% времени пер­вой. Обе машины начали работу одновременно. После совместной ра­боты в течение 0,25 часа вторая машина прекратила работу. За сколько времени после этого первая машина закончила уборку улицы?

5. Известно, что любое положительное рациональное число можно изобразить точкой на координатном луче. Исчерпывают ли точки с по­ложительными рациональными координатами весь координатный луч?

6. Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью: а) 3,46; б) 3,(7); в) 3,2(6).

7. Седьмая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 13 раз. Конечной или бесконечной дробью будет представлена длина этого отрезка? Периодической или непериодической?

8. Дано множество: 7; 35,91; - 12,5; - 0; 0,123; 4136. Можно ли разбить его на два класса: рациональные и иррациональные?

9. Известно, что любое число можно изобразить точкой на коорди­натной прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОЛЛОКВИУМУ

1. Из истории возникновения понятия натурального числа (С/Р)

2. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет

3. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля

4. Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»

5. Теоретико-множественный смысл суммы

6. Законы сложения (С/Р)

7. Теоретико-множественный смысл разности

8. Отношения «больше на» и «меньше на» (С/Р)

9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа (С/Р)

10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля

11. Понятие системы счисления

12. Позиционные и непозиционные системы счисления

13. Запись и названия чисел в десятичной системе счисления

14. Сложение в десятичной системе счисления

15. Умножение в десятичной системе счисления

16. Упорядоченность множества натуральных чисел.

17. Вычитание в десятичной системе счисления

18. Деление в десятичной системе счисления

19. Множество целых неотрицательных чисел (С/Р)

20. Отношение делимости и его свойства

21. Признаки делимости (С/Р)

22. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

23. Простые числа. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел

24. Понятие дроби

25. Положительные рациональные числа

26. Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел

27. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей

28. Действительные числа