2.6. Фотоны. Давление света

Фотон – это световой квант. Свет испускается, поглощается и распространяется как поток фотонов. Энергия фотона :

. (41)

Используя формулу взаимосвязи массы и энергии частиц, найдем массу фотона :

(42)

Скорость движения фотона всегда равна – скорости света в вакууме, поэтому фотон имеет нулевую массу покоя. Импульс фотона :

(43)

Давление света связано с изменением импульса потока фотонов, падающих на поверхность. Величина давления при нормальном падении света на поверхность зависит от энергетической освещенности поверхности и описывается следующей формулой:

(44)

где – скорость света в вакууме; – коэффициент отражения света от поверхности ; энергетическая освещенность поверхности равна энергии фотонов, падающих на единицу площади в  единицу времени : . По смыслу величина совпадает с интенсивностью света , падающего на поверхность.

2.7. Эффект Комптона

Эффект Комптона – это упругое рассеяние рентгеновского или -излучения атомами вещества, при котором длина волны излучения увеличивается на :

,

где – длины волн рассеянного и первичного излучения.

Для рассеяния излучения на слабосвязанных электронах атомов величина определяется экспериментальной формулой Комптона:

, (45)

где – угол рассеяния (между направлением движения первичного и рассеянного фотона (рис. 30)).

Рис. 30

Комптоновское рассеяние объясняется квантовой теорией как упругое соударение двух частиц: налетающего фотона и    электрона, находящегося на одной из внешних оболочек атома. Согласно схеме такого взаимодействия:

.

Запишем законы сохранения, которые выполняются при упругом ударе.

Закон сохранения энергии (ЗСЭ):

, (46)

где – энергия первичного и рассеянного фотона; – энергия покоя и полная энергия электрона: , а – кинетическая энергия электрона отдачи.

Закон сохранения импульса (ЗСИ):

, (47)

где – векторы импульсов первичного и рассеянного фотона, – импульс электрона отдачи (см. рис. 30 – векторную диаграмму импульсов).

При решении системы уравнений (46) и (47) получают формулу Комптона (45) в следующем виде:

(48)

Здесь – комптоновская длина волны.

Примеры решения задач

3.1. План решения задач по теме «Интерференция света»

1. Прежде всего, необходимо на рисунке показать интерферирующие лучи и обозначить отрезки, определяющие геометрический путь этих лучей. Записывая оптическую разность хода, умножайте геометрический путь луча на показатель преломления той среды, в которой пройден путь.

2. Если интерферируют отраженные лучи, то следует указать соотношение показателей преломления среды и отражающей пластинки (пленки). Это необходимо для того, чтобы учесть изменение фазы светового вектора при отражении от оптически более плотной среды (с большей величиной ) путем прибавления к оптической разности хода лучей слагаемого, равного .

3. При использовании условий максимума интенсивности или минимума величину – длину волны света в  вакууме можно с успехом заменить величиной в воздухе, так как их отличие незначительно:

Задача 4. В опыте Юнга расстояние от щелей до экрана ; длина волны света . Определите расстояние между щелями, если ширина интерференционной полосы .

Дано ; ; .

Решение экран · Рис. 31

В опыте Юнга интерферируют волны от двух щелей , расположенных на малом расстоянии друг от друга (рис. 31). Эти щели являются когерентными источниками света, так как они находятся на   одном фронте волны. Щели достаточно узкие и расположены перпендикулярно плоскости рисунка. Интерференционная картина на  экране имеет вид полос, параллельных щелям. В центре картины (точка на рис. 31) будет светлая полоса (нулевой максимум), так как для этой точки оптическая разность хода лучей

Пусть в точке на экране будет -й интерференционный максимум, для которого оптическая разность хода волн от источников :

(1)

Для двух подобных треугольников (малого и большого на рис. 31), учитывая, что расстояние и угол – весьма малый, запишем следующие соотношения:

(2)

Здесь – расстояние от центрального (нулевого) максимума (в точке ) до -го максимума – в точке (см. рис. 31). Из соотношений (2) выразим величину :

(3)

С учетом оптической разности хода волн, которая при показателе преломления воздуха совпадает с разностью геометрических путей волн, записанной в формуле (1), равенство (3) принимает вид:

(4)

Для соседнего -го максимума запишем формулу, аналогичную (4):

(4а)

Используя формулы (4а) и (4), определим ширину интерференционной полосы как расстояние между двумя соседними максимумами:

(5)

Из этой формулы получаем расчетную формулу расстояния :

.

Вычисляем расстояние между щелями в опыте Юнга:

.

Задача 5. На тонкую пленку мыльной воды с показателем преломления и толщиной падает белый свет по  нормали к поверхности пленки. Определите длины волн лучей видимого участка спектра ( ), которые в отраженном свете будут усилены в результате интерференции.

Дано ; ; .

Решение 2 1 Рис. 32

В отраженном свете будут интерферировать два луча: 1-й, отраженный от верхней поверхности пленки, и 2-й, отраженный от нижней поверхности (рис. 32). Оптическая разность хода этих лучей:

. (1)

Дополнительное слагаемое, равное  , обусловлено отражением 1-го луча от оптически более плотной пленки.

Условие максимумов интенсивности при интерференции волн:

(2)

Приравняем величины по формулам (1) и (2):

(3)

Из соотношения (3) выразим длины волн, удовлетворяющие условию :

; (4)

Полагая в этой формуле величину , вычислим длины волн , усиленные в отраженном свете:

; это инфракрасная область спектра.

Видимая область спектра начинается с номера максимума и   соответствующие длины волн усиленных лучей, рассчитанные по формуле (4), будут следующие:

; – красный цвет;

; – желтый;

; – зеленый;

; – голубой;

; – синий;

; – фиолетовый;

; – фиолетовый;

; – начало ультрафиолетовой области спектра.

Задача 6. На стеклянную линзу объектива с показателем преломления нанесена тонкая прозрачная пленка вещества с показателем преломления . Объектив освещен падающим на него нормально пучком света с длиной волны . Определите наименьшую толщину пленки , при которой отраженный свет будет иметь минимальную интенсивность.

Дано ; ; .

Решение 2 1 Рис. 33

В отраженном свете происходит интерференция лучей 1 и 2 (рис. 33), отраженных от пленки (луч 1) и от линзы (луч 2). Оптическая разность хода этих лучей определяется следующим образом:

. (1)

Здесь слагаемое, равное – при отражении 2-го луча, а слагаемое входит в вычитаемый оптический путь 1-го луча, так как и тот, и другой луч отражается от оптически более плотной среды.

Чтобы отраженный луч имел наименьшую интенсивность, оптическая разность хода лучей 1 и 2 должна удовлетворять условию интерференционного минимума:

(2)

Приравниваем оптическую разность хода лучей по формулам (1) и (2): ; ; (3)

Формула (3) дает дискретный набор толщин , соответствующих значениям , при которых . Минимальное значение достигается при :

.

Отметим, что пленки толщиной и др. также обеспечивают минимальную интенсивность отраженного света. При этом, согласно закона сохранения энергии,

,

интенсивность света, проходящего в объектив, – будет наибольшая, т. е. такая пленка просветляет область за объективом. Линзы с просветленной оптикой широко используются в оптических приборах.

Задача 7. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой линзой с радиусом кривизны находится жидкость. При наблюдении в отраженном свете с длиной волны измерен радиус третьего темного кольца Ньютона: . Определите толщину слоя жидкости в том месте, где наблюдается это кольцо, и показатель преломления жидкости.

Дано ; ; ; темное кольцо: .

Решение 1 2 Рис. 34

В отраженном свете происходит интерференция лучей 1 и 2: 1-й отражается от жидкости, 2-й – от стекла (рис. 34). Предположим, что показатель преломления жидкости меньше, чем стеклянной пластинки и линзы : . В этом случае 2-й луч отражается от оптически более плотной среды с изменением фазы колебаний светового вектора на   , что и учтем, прибавляя к оптической длине пути 2-го луча слагаемое . Тогда оптическая разность хода лучей 1 и 2 представится формулой:

. (1)

Радиус кольца Ньютона с номером связан с параметрами установки (см. «Теоретическая часть», п. 2.1.2 г), формула (9)):

. (2)

По этой формуле вычислим толщину слоя жидкости в том месте, где измерен радиус третьего кольца, подставляя :

.

Чтобы найти показатель преломления жидкости из формулы (1), учтем, что -е темное кольцо – это -й интерференционный минимум интенсивности, для которого оптическая разность хода лучей определяется условием минимума:

(3)

Приравнивая величину по формулам (1) и (3), получаем следующую расчетную формулу величины :

. (4)

Вычисляем показатель преломления жидкости:

.

Полученное значение , с учетом погрешности измеренных величин , совпадает с табличным значением показателя преломления воды . Относительная погрешность .

Задача 8. Между двумя плоскопараллельными пластинками на  расстоянии от линии их  соприкосновения находится тонкая проволока диаметром Пластинки, образующие воздушный клин, освещаются нормально падающим монохроматическим светом с длиной волны . Определите диаметр проволоки , если ширина интерференционных полос, наблюдаемых в отраженном свете, .

Дано ; ; .

Решение 1 2 Рис. 35

На рис. 35 показаны две пары отраженных лучей: (1 и 2) и ( , при интерференции которых наблюдаются соседние полосы – с номером и  ( соответственно. Запишем оптическую разность хода лучей 1 и 2:

(1)

Пусть эти лучи при наложении дают темную полосу, т. е. величина удовлетворяет условию интерференционного минимума:

(2)

Приравнивая величину по формулам (1) и (2), выразим толщину слоя воздуха в том месте, где наблюдается -я темная полоса:

(3)

Аналогичную формуле (3) величину получим для соседней ( -й темной полосы:

(4)

Чтобы найти искомую величину диаметра проволоки , на рисунке рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника: малый – со   сторонами и большой – со сторонами . Для малого угла (он мал, так как ) в этих треугольниках выполняется следующее равенство:

(5)

Здесь, в соответствии с полученными выше формулами (3) и (4), разность величин . Учитывая это, из выражения (5) получаем следующую расчетную формулу:

. (6)

Вычисляем диаметр проволоки :

.

Таким образом, интерференционную картину полос равной толщины воздушного клина можно использовать для точного определения размеров малых тел.