4.2. Элементы квантовой механики

4.2.1. Корпускулярно-волновая природа материи. Волна де Бройля. Дифракция электронов

Луи де Бройль в 1923 г., основываясь на симметрии природы, предположил, что все материальные объекты (как и свет) имеют свойства и частиц, и волн. Это означает, что не только фотон, но и такие частицы, как электрон, протон, нейтрон, атом, молекула, проявляют себя в  эксперименте как волна. Формулы, связывающие характеристики корпускулярных свойств частиц (энергия и импульс ) с их волновыми свойствами (частота и длина волны ) такие же, как для фотонов (см. таблицу).

Фотон	Общие формулы	Частица (например, электрон)
Фотон  –  квант энергии ЭМВ Частота волны Импульс фотона . Длина волны .	Энергия . Импульс .	Электрон – частица вещества (в атомах, молекулах); Электрон – волна де Бройля с частотой . Импульс частицы ; Длина волны де Бройля .

Экспериментальным подтверждением гипотезы де Бройля явилась дифракция пучка электронов на кристалле никеля. Для электронов, ускоренных в электрическом поле напряжением , длина волны де Бройля описывается формулой (см. решение задачи 34):

(10)

Величину определили в дифракционном опыте по формуле Вульфа – Брэггов (см. решение задачи 35):

(11)

В этом опыте получено, что , что подтвердило справедливость гипотезы де Бройля.

В дальнейших экспериментах осуществлена 1) дифракция быстрых электронов, проходящих сквозь металлическую фольгу, 2) дифракция атомов гелия и молекул водорода, а затем и нейтронов на кристалле .

Дифракция частиц используется в следующих методах исследования тонких пленок для определения величины – межатомного расстояния:

а) электронография – для металлических пленок;

б) нейтронография и в) протонография – для водородсодержащих пленок.

Волновые свойства электронов позволяют создавать приборы и   устройства электронной оптики: электронные и магнитные линзы, электронные микроскопы, электронно-оптические преобразователи. Причем, разрешающая сила электронных микроскопов примерно в 100 раз больше, чем оптических микроскопов.

4.2.2. Соотношение неопределенностей

В классической механике частица движется по определенной траектории; при этом в любой момент времени можно точно определить ее координаты и импульс (проекции ).

В микромире, который описывает квантовая механика, благодаря волновым свойствам частиц, проявляются ограничения для некоторых величин (см. далее п. 1, 1а и 2).

1) Соотношение неопределенностей Гейзенберга: микрочастица (например, электрон) не может одновременно иметь точные значения двух величин: координаты – соответствующей проекции импульса, (а  также ; ). Неопределенности этих величин связаны следующими соотношениями:

(12)

Таким образом, произведение неопределенности координаты и неопределенности проекции импульса не может быть меньше, чем , т. е. при увеличении уменьшается .

То, что это обусловлено волновыми свойствами частиц, видно из опыта по дифракции пучка электронов на щели шириной (рис. 50).

экран . Рис. 50

До щели электрон имел импульс – точное значение в параллельном пучке электронов, т. е. . Но при этом координата электрона в пучке была любая: (точнее .

После щели стала известна координата электрона, прошедшего щель: ) (см. рис. 50), где , т. е. с точностью до ширины щели . Но на экране, по графику распределения интенсивности пучка электронов, видим дифракционное расхождение пучка, так как появилась составляющая импульса . Приравнивая значение (по треугольнику на рисунке) и по условию первого дифракционного минимума на щели: , где – длина волны электрона, получаем соотношение неопределенностей – .

1а) Неопределенность импульса частицы проявляется в неопределенности скорости частицы . Оценим минимальную неопределенность скорости частиц:

. (13)

Для пылинки массой , координата которой известна с   неопределенностью , величина ; такая неопределенность незаметна, так как даже для малой скорости величина .

Из формулы (13) следует, что неопределенность растет с уменьшением массы частицы и для электрона ( ) величина . Так, для электронного луча, толщиной , распространяющегося вдоль оси , величина ; эта поперечная лучу скорость . Следовательно, траектория электрона в пучке (его трек) – это линия, параллельная оси , она не размывается из-за волновых свойств электрона.

Иначе ведет себя электрон в атоме, где неопределенность координаты . Для такого электрона , а его скорость, например, в атоме водорода, , т. е. . Поскольку вектор , то траектория электрона в атоме не имеет определенной формы, она не является замкнутой линией.

2) Соотношение неопределенностей для энергии и времени:

(14)

где – неопределенность энергии какого-либо состояния частицы с энергией ; – время существования этого энергетического состояния, или время жизни системы с энергией .

Атом в основном состоянии существует сколь угодно долго: , - поэтому (энергетический уровень основного состояния узкий). Но  в возбужденном состоянии время жизни атома ; тогда по  формуле (14) получаем – это ширина размытого возбужденного уровня энергии. В результате энергия фотона, излучаемого при переходе электрона с такого уровня, имеет неопределенность

. (15)

Эта, так называемая, естественная ширина спектральной линии – частоты линий оптических спектров. Так как длина волны , то, дифференцируя, имеем ; принимая, что и , получаем соотношение   .     Такова монохроматичность спектральной линии. По величине линии спектра, используя формулу (15), можно определить – время жизни атома в возбужденном состоянии.