3.6. План решения задач по теме «Фотоны. Давление света. Эффект Комптона»

1. В формуле для расчета давления света: , – величина – энергетическая освещенность поверхности по физическому смыслу совпадает с интенсивностью света , падающего на поверхность. Величина , как и , равна мощности (потоку энергии) излучения, падающего на единичную площадь: .

2. При решении задач на эффект Комптона: упругое соударение фотона со свободным электроном, – наиболее простой путь состоит в использовании законов сохранения энергии и импульса, соответственно:

(1)

(2)

Для определения импульса электрона отдачи полезна векторная диаграмма импульсов, соответствующая уравнению ЗСИ (2).

3. Приведем порядок величин, характеризующих фотоны. Энергия фотона возрастает от 0,1 эВ для инфракрасного (ИК) излучения до 100 эВ для мягких рентгеновских лучей и до  эВ (т. е. 10 МэВ) – фотонов жесткого излучения. Единица энергии . Соответствующая этим энергиям ( масса фотонов возрастает от для ИК-излучения до (что составляет – масс электрона) – для жестких рентгеновских лучей.

4. Импульс фотонов, а также релятивистских электронов (скорость которых – скорости света), измеряют в единицах , в соответствии с формулой импульса фотона , где – скорость света в вакууме, а энергия частицы выражена в мегаэлектрон-вольтах (МэВ):

.

Порядок величин импульса фотонов: от для видимого света до  – жесткого рентгеновского излучения.

Задача 25. Для фотона рентгеновского излучения с длиной волны определите энергию, массу и импульс.

Дано	Решение Энергия фотона определяется следующей формулой: , (1)

где – постоянная Планка;   – частота и длина волны излучения соответственно; – скорость света в вакууме.

Вычисляем величину энергии фотона:

.

Согласно специальной теории относительности, энергия фотона пропорциональна его массе:

(2)

Вычисляем по этой формуле массу фотона:

.

Полученное значение массы фотона примерно в 2 раза больше массы покоя электрона .

Импульс фотона определяем, как произведение массы на скорость фотона, по следующей формуле:

(3)

Вычисляем импульс фотона:

.

Определим импульс фотона в единицах , где – скорость света в вакууме, по следующей формуле:

.

Задача 26. На зеркальную поверхность площадью падает нормально поток излучения Опреде­лите давление и силу давления излучения на эту поверх­ность.

Дано ; ;

Решение Давление света, падающего по нормали на  поверхность с коэффициентом отражения , описывается следующей формулой: (1) где – скорость света в вакууме; – коэффициент отражения света от поверхности;

– энергетическая освещенность поверхности, равная энергии фотонов, падающих на единицу площади в единицу времени:

. (2)

С учетом этой формулы из уравнения (1) получаем следующую расчетную формулу давления, оказываемого светом на поверхность:

. (3)

Вычисляем величину давления излучения на зеркальную поверхность, имеющую коэффициент отражения :

.

Чтобы найти силу, с которой излучение действует на поверхность площадью , используем определительную формулу величины давления:

(4)

Вычисляем искомую силу по формуле (4):

.

Задача 27. На расстоянии от точечного изотропного источника света с длиной волны находится площадка , расположенная перпендикулярно падающим лучам. Мощность источника . Определите число фотонов , падающих на площадку за время .

Дано ; ; ; ; .	Решение Мощность излучения , по определению, равна энергии всех фотонов, излучаемых в единицу времени: . (1) Излучение изотропного источника распространяется равновероятно по всем направлениям; поэтому на   расстоянии от источника излученное число фотонов распределится равномерно по   поверхности сферы площадью (рис. 45).
Рис. 45	На единицу площади приходится число фотонов . Тогда на заданную в   задаче площадку будет падать число фотонов .

С учетом формулы (1) получаем следующую расчетную формулу:

. (2)

Проверим эту формулу по единицам входящих в нее величин:

.

Видим, что формула (2) дает безразмерную величину числа фотонов.

Вычисляем по формуле (2) число фотонов , падающих за время на площадку :

.

Задача 28. Определите угол , на который был рассеян фотон с  энергией при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи .

Дано ; .	Решение Согласно формуле Комптона, от угла рассеяния (рис. 46) зависит изменение длины волны при рассеянии фотона: (1)
Рис. 46	Здесь – длины волн рассеянного и  падающего фотона; – комптоновская длина волны; при рассеянии на свободных электронах ( ) ее величина: .

Длина волны связана с энергией фотона следующей формулой:

. (2)

Энергию рассеянного фотона определим по закону сохранения энергии (ЗСЭ), который выполняется при упругом соударении налетающего фотона и электрона:

, (3)

где – энергия покоя электрона; – полная энергия электрона отдачи: . С учетом этой формулы ЗСЭ (3) принимает следующий вид:

. (4)

Тогда, согласно формуле (2), длина волны рассеянного фотона

(5)

Искомый угол рассеяния определим по формуле (1):

(6)

С учетом формул (2) и (5) для длин волн фотонов расчетная формула (6) имеет следующий вид:

(7)

Определяем по этой формуле угол рассеяния фотона:

.

Угол рассеяния .

Задача 29. В эффекте Комптона фотон был рассеян на свободном электроне на угол . Определите кинетическую энергию электрона и его импульс , если энергия фотона до рассеяния

Дано ; . 1)

Решение 1) Кинетическая энергия электрона определяется по закону сохранения энергии (ЗСЭ), который выполняется при упругом соударении налетающего фотона и электрона: . (1)

Здесь – энергия фотона падающего и рассеянного излучения;  – кинетическая энергия электрона отдачи, равная разности полной энергии частицы и ее энергии покоя .

Энергия рассеянного фотона связана с его длиной волны :

(2)

Изменение длины волны при рассеянии фотона зависит от угла (см. рис. 46) и определяется формулой Комптона:

(3)

где – комптоновская длина волны. Так как , то по  формуле (3) находим величину , где длина волны падающего излучения, согласно формуле (2): . Тогда и, в соответствии с формулой (2), энергия рассеянного фотона

(4)

Подставим в последнюю формулу величину комптоновской длины волны ; при этом формула (4) принимает следующий вид:

(5)

Здесь – энергия покоя электрона.

Вычисляем энергию рассеянного фотона по формуле (5):

.

По уравнению (1) ЗСЭ определим кинетическую энергию электрона отдачи как разность энергий фотона до и после соударения:

.

Так как кинетическая энергия электрона , то электрон релятивистский.

2) Импульс электрона отдачи найдем по закону сохранения импульса, который также выполняется при соударении частиц:

(6)

Покажем векторы частиц на векторной диаграмме (рис. 47). Величина импульса фотона

. (7)

Соответственно, импульс рассеянного фотона

. (7 а)

Рис. 47

Так как при рассеянии энергия фотона уменьшилась в 4 раза: , то и  импульс рассеянного фотона . Поскольку угол рассеяния , то из прямоугольного треугольника (см. рис. 47) находим импульс электрона по теореме Пифагора:

(8)

С учетом формулы (7) для импульса фотона преобразуем формулу (8) в следующую расчетную формулу:

(9)

Вычисляем импульс электрона в единицах , где – скорость света в вакууме:

.