7.2. План решения задач по теме «Радиоактивность»

1. Скорость распада и активность радиоактивного вещества зависят от постоянной распада данного вещества; ее находят, используя табличное значение периода полураспада с помощью формулы

. (1)

2. Активность радиоактивного вещества в данный момент времени зависит также от концентрации нераспавшихся ядер , которую находят с помощью закона радиоактивного распада:

. (2)

3. Если необходимо найти число распавшихся ядер , то используют очевидное равенство для начального количества ядер в образце:

где – число нераспавшихся ядер, оно определяется законом распада (2).

Задача 42. Определите, какая доля радиоактивного изотопа йода распадается в течение времени .

Дано Йод : ; .

Решение Доля распавшихся ядер – это отношение числа распавшихся ядер к начальному числу ядер : . А закон радиоактивного распада дает число ядер – оставшихся к моменту времени :

. (1)

Так как , то запишем и выразим долю:

. (2)

С учетом закона радиоактивного распада (2) получаем формулу:

. (3)

Здесь постоянная распада и период полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (4)

Подставляя величину по формуле (4) в уравнение (3), получаем расчетную формулу в виде:

.

Вычисляем по полученной формуле долю ядер, распавшихся к моменту времени :

. .

Задача 43. Для образца радиоактивного изотопа иридия , начальная масса которого , определите число ядер , распавшихся в течение времени: 1) ; 2)

Дано ; ; ; .

Решение Найдем начальное число атомов в образце, содержащем число молей : , (1) где – масса и молярная масса иридия ; – число Авогадро (число атомов в одном моле вещества).

Закон радиоактивного распада ядер можно записать в двух формах:

1) В дифференциальной записи – для малого числа ядер , распавшихся за малое (по сравнению с периодом полураспада ) время :

. (2)

Эту формулу закона можно применить для промежутка времени .

2) В интегральной форме – для времени распада, соизмеримого с величиной :

. (3)

Здесь – начальное число ядер (в момент времени ); – число нераспавшихся ядер в момент времени ; – постоянная радиоактивного распада.

Закон распада в форме (3) применим для промежутка времени . Так как число распавшихся ядер , то, с учетом закона (3):

. (4)

В уравнениях (2) и (4) постоянная распада и период полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (5)

С учетом формул (1) и (5) преобразуем уравнения (2) и (4) в следующие расчетные формулы:

. (6)

. (7)

Вычислим начальное число ядер в образце:

.

Вычисляем по формуле (6) число ядер, распавшихся за время :

.

Полученное число , что подтверждает правомерность использования простой приближенной формулы (2) закона радиоактивного распада.

По формуле (7) вычисляем число ядер, распавшихся за время :

Здесь использовали формулу для приближенного вычисления при :

.

Задача 44. Активность образца некоторого изотопа за время уменьшилась на 20%. Определите период полураспада этого изотопа.

Дано ; . ?

Решение В задаче дано относительное уменьшение активности образца: , (1)

где – активность образца в начальный момент времени ; – активность того же образца в момент времени .

Активность радиоактивного вещества пропорциональна числу ядер, которые будут распадаться, т. е. числу нераспавшихся ядер:

. (2)

По закону радиоактивного распада число нераспавшихся ядер

. (3)

Следовательно, формула (2), с учетом закона (3), приводит к зависимости активности образца от времени в виде:

. (4)

Подставляя зависимость (4) в формулу (1), получаем следующую формулу:

Логарифмируя, находим

. (5)

Период полураспада и постоянная распада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (6)

Подставляя в последнюю формулу выражение (5), получаем расчетную формулу в следующем виде:

.

Вычисляем период полураспада радиоактивного вещества:

.

Задача 45. Определите массу образца радиоактивного изотопа актиния , имеющего активность

Дано ;

Решение Активность радиоактивного образца пропорциональна числу нераспавшихся ядер в этом образце: , (1) где – постоянная распада данного вещества.

Постоянная распада и период полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (2)

Из формулы (1) выразим число ядер в образце и учтем выражение (2):

. (3)

Число ядер равно числу атомов изотопа актиния, поэтому можно найти число молей радиоактивного вещества в образце по формуле:

, (4)

где – число Авогадро (число атомов в одном моле вещества). С другой стороны, число молей вещества можно выразить через его массу и молярную массу актиния :

. (5)

Приравнивая величину по формулам (4) и (5) и учитывая равенство (3), получаем расчетную формулу массы образца:

. (6)

Здесь период полураспада следует выразить в секундах, так как единица активности .

Вычисляем массу образца радиоактивного вещества по формуле (6):

.

Задача 46. Счетчик -частиц, установленный вблизи образца радиоактивного изотопа, при первом измерении зарегистрировал – частиц в  минуту, а через время – . Определите период полураспада изотопа .

Дано ; ; .

Решение В условии задачи дана скорость распада радиоактивного изотопа в два момента времени: и . Скорость распада дает нам активность изотопа : . (1) Величина пропорциональна числу нераспавшихся ядер в этом образце: . (2)

Число нераспавшихся ядер определяем по закону радиоактивного распада:

. (3)

Заменяя в уравнении (3) (в соответствии с формулами (2)), получаем соотношение активностей радиоактивного образца в виде:

. (4)

Здесь постоянная распада связана с периодом полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (5)

Найдем величину из уравнения (4) путем его логарифмирования:

. (6)

Подставляя найденную величину в формулу (5), получаем расчетную формулу периода полураспада :

. (7)

Вычисляем период полураспада радиоактивного изотопа, заменяя отношение активностей образца (на основании формулы (1)), отношением измеренных счетчиком скоростей -распада ядер радиоактивного изотопа:

.

Задача 47. Определите период полураспада изотопа , если известно, что из миллиона атомов этого радиоактивного изотопа за каждую секунду распадаются ядра атомов: .

Дано ; .

Решение В условии задачи дана скорость распада радиоактивного изотопа, равная активности изотопа : . (1) Величина пропорциональна числу нераспавшихся ядер в этом образце:

. (2)

Приравнивая активности образца в формулах (1) и (2), получаем выражение для определения постоянной радиоактивного распада изотопа:

. (3)

Период полураспада и постоянная распада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

. (4)

Подставляя в последнее равенство величину по формуле (3), получаем расчетную формулу периода полураспада радиоактивного изотопа:

.

Вычисляем величину периода полураспада:

.