3.2. План решения задач по теме «Дифракция света»

1. Условия дифракционных максимумов и минимумов различны для дифракции на щели, плоской дифракционной решетке и на кристалле – пространственной дифракционной решетке. Поэтому, согласно условию задачи, нужно выбрать соответствующие формулы (см. «Теоретическая часть», п. 2.2).

2. На рисунке, сопровождающем решение задачи, следует показать угол дифракции . В решении задачи для малых углов можно использовать формулу приближенных вычислений: . В случае больших углов дифракции следует использовать тригонометрическое соотношение .

Задача 9. На диафрагму со щелью шириной падает нормально плоская монохроматическая волна с длиной волны . Определите ширину изображения щели на экране как расстояние между первыми дифракционными минимумами. Экран расположен параллельно плоскости диафрагмы на расстоянии от нее. Дифракционная картина проецируется на экран линзой, расположенной близко к щели.

Решение

Дано ; ; .

Л ; экран Рис. 36

Дифракционный спектр от щели – график распределения интенсивности света вдоль экрана , – показан на рис. 36. Расчет интенсивностей дифракционных максимумов показывает, что интенсивности 1-го, 2-го, 3-го и последующих максимумов малы по сравнению с – высотой нулевого максимума: . Таким образом, основная часть энергии приходится на центральный (нулевой) максимум; поэтому его ширина и является изображением щели на экране.

Ширина центрального максимума ограничивается примыкающими к нему дифракционными минимумами первого порядка: . Условие этих минимумов: размещение на открытом щелью фронте волны 2-х зон Френеля, – при этом оптическая разность хода крайних лучей, идущих от щели под углом дифракции , равна четному числу полуволн :

(1)

Из этого условия получаем, что для углов дифракции синус угла:

. (2)

Параллельные интерферирующие лучи, идущие от щели под углами , собираются линзой в точках соответственно (см. рис 36). Из треугольника на рисунке видно, что полуширина искомого изображения щели на экране определяется через тангенс угла дифракции:

(3)

Учитывая, что для малых углов значение и используя условие (2), получаем следующую расчетную формулу величины :

. (4)

Вычисляем ширину изображения щели на экране как ширину центрального дифракционного максимума:

.

Проверим использованное в решении условие малости угла : определим этот угол по формуле (3):

.

Задача 10. На дифракционную решетку (ДР), содержащую штрихов на одном миллиметре длины, падает нормально белый свет. Линзой, помещенной вблизи решетки, дифракционный спектр проецируется на экран. Определите длину спектра второго порядка на  экране, если расстояние от линзы до экрана . Длины волн границ видимого спектра: , .

Дано ; ; ; ; .

Решение экран Л ДР Рис. 37

Дифракционный спектр от решетки – график распределения интенсивности света вдоль экрана: , – показан на рис. 37. Запишем условие главных максимумов в спектре дифракционной решетки для границ белого света – фиолетового и красного лучей:

(1)

(2)

Здесь период дифракционной решетки связан с числом щелей на 1 мм решетки очевидным соотношением:

.

Так как длина волны красного света , то, согласно уравнениям (1) и (2), угол дифракции . Соответственно, красная линия в  спектре ДР отстоит от центрального максимума (точка на рис. 37) на  расстояние , а фиолетовая линия – на ; причем (см. рис. 37). Как видно по графику спектра, длина спектра второго порядка равна разности этих расстояний:

(3)

Каждое из этих расстояний определяется углом дифракции и   расстоянием от решетки до экрана (линза установлена вблизи дифракционной решетки); как следует из треугольников на рисунке:

(4)

Расчетная формула (3) длины спектра , с учетом формул (4), принимает следующий вид:

(5)

Определим углы дифракции для спектра 2-го порядка ( ) из условий максимумов (2) и (1):

.

Значения, синусов углов дифракции существенно больше нуля, следовательно, углы дифракции не являются малыми; поэтому определим величину по известному тригонометрическому соотношению:

;

.

Используя эти значения тангенсов углов дифракции, вычисляем по формуле (5) длину спектра 2-го порядка при дифракции белого света на данной дифракционной решетке:

.

Задача 11. На дифракционную решетку (ДР), постоянная которой , падает нормально свет с длиной волны . Определите наибольший порядок максимума , который дает эта решетка, угол дифракции для этого максимума и общее число максимумов .

Дано ; .

Решение Рис. 38

Запишем условие главных максимумов для дифракционной решетки:

(1)

Из равенства (1) выразим порядок максимума :

(2)

Формула (2) показывает, что наибольший порядок спектра при  заданных значениях соответствует максимальному значению . Вычисляем величину по формуле (2):

.

Взята целая часть найденного числа, так как порядок максимума – целое число; Округление до 7 недопустимо, поскольку не может быть больше единицы.

Значение угла дифракции (рис. 38) для максимума 6-го порядка определим по условию главных максимумов (1):

.

Общее число максимумов в спектре ДР определим следующим образом. По графику дифракционного спектра решетки (см. «Теоретическая часть», рис. 16 а) видно, что в спектре есть центральный (нулевой: ) максимум, а слева и справа от него располагаются максимумы с номерами . Суммируя число всех максимумов, определяем величину :

.

Задача 12. Дифракционная решетка (ДР) длиной позволяет разрешить в спектре первого порядка две спектральные линии калия: . Определите общее число щелей этой ДР и ее постоянную .

Дано ; ; ; .

Данные спектральные линии с длинами волн разрешаются данной дифракционной решеткой (см. «Теоретическая часть», рис. 17 а), следовательно, ее разрешающая способность определяется формулой: . (1) Величина разрешающей способности зависит от общего числа щелей дифракционной решетки следующим образом:

, (2)

где – порядок спектра, в котором разрешены линии.

Выразим из формулы (2) число щелей дифракционной решетки и вычислим величину , полагая, по условию задачи, :

.

Период дифракционной решетки повторяется раз на длине решетки , что позволяет записать очевидное соотношение этих величин:

.

Задача 13. На грань кристалла под углом к ней падает параллельный пучок рентгеновского излучения с длиной волны . Определите расстояние между атомными плоскостями кристалла, при отражении от которых наблюдается дифракционный максимум первого порядка.

Дано ; ; ;

Р 1 2 ешение Рис. 39

Условие дифракционных максимумов при дифракции рентгеновского излучения на кристалле – это формула Вульфа – Брэггов:

(1)

где – расстояние между атомными плоскостями, отражающими рентгеновские лучи (рис. 39).

Определим из формулы (1) величину и вычислим ее:

.