5.2. План решения задач по теме «Элементы квантовой механики»

1. Длина волны де Бройля для частиц вычисляется по формуле , где импульс частицы . Если известна кинетическая энергия частицы , то импульс выражают через энергию:

Если заряженная частица (электрон, протон, -частица) ускорена электрическим полем, совершившим работу , то кинетическая энергия определяется величиной ускоряющей разности потенциалов . Привычную формулу классической механики можно использовать для частиц, кинетическая энергия которых мала по  сравнению с их энергией покоя : . Приведем значения энергии покоя некоторых частиц: для электрона ; для протона ; для -частицы .

2. Длину волны де Бройля можно определить из дифракционного эксперимента, используя для параллельного пучка частиц такие же условия максимумов и минимумов дифракции, как и для потока фотонов видимого или рентгеновского излучения. Приведем эти формулы:

1) для  дифракции на щели: а) условие – ;

б) условие – ;

2) для дифракции на кристалле – формула Вульфа – Брэггов:

.

3. Для микрочастиц, находящихся в ограниченной области пространства (в атоме, в ядре, в узкой потенциальной яме), характерна ненулевая минимальная кинетическая энергия: и  ненулевое значение минимального импульса: , так как такая частица, согласно соотношению неопределенностей, не может иметь точные нулевые значения. Поскольку неопределенность координаты частицы , – определяется характерным размером области, то,   используя соотношение , можно получить формулу, связывающую минимальную кинетическую энергию частицы с размером области: .

Задача 33. Электрон движется со скоростью . Определите длину волны де Бройля электрона, учитывая зависимость его массы от скорости.

Дано Электрон: ; ; .

Решение Длина волны де Бройля свободно движущейся частицы определяется формулой: , (1) где – постоянная Планка; – импульс частицы; – ее масса и скорость. При скоростях, сравнимых со скоростью света ,

масса частиц зависит от их скорости. Увеличение массы частицы в  зависимости от ее скорости описывается формулой специальной теории относительности:

, (2)

где – масса покоя электрона; – скорость света в вакууме.

Подстановкой выражения (2) для массы электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны де Бройля релятивистского электрона:

(3)

Вычисляем величину :

.

Задача 34.  Электрон прошел в электростатическом поле (ЭСП) ускоряющую разность потенциалов: 1)  ; 2)  . Определите длины волн де Бройля   электрона при .

Дано Электрон: ; 1)  ; 2)  .

Решение Длина волны де Бройля свободно движущейся частицы определяется формулой: , (1) где – постоянная Планка; – импульс частицы; – ее масса и скорость.

Пройдя в ЭСП ускоряющую разность потенциалов , электрон приобрел кинетическую энергию , равную работе электрического поля:

.

Величина работы, совершенной полем, .

Приравнивая две последние формулы, определяем кинетическую энергию:

(2)

Вычисляем кинетическую энергию электрона для обоих случаев:

.

Сравним найденные величины энергии с энергией покоя электрона

.

Отмечаем, что . Следовательно, электрон не  является релятивистским и для его импульса и кинетической энергии справедливы формулы классической механики:

(3)

Проверим, что это так, вычислив скорость электрона при из    равенства . Релятивистская поправка (множитель) в этом случае равна .

Используя для кинетической энергии формулу (2), определяем по формуле (3) импульс электрона:

(4)

Подстановкой полученной величины импульса электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны электрона:

(5)

Вычисляем по формуле (5):

.

Вычислим величину следующим путем: согласно формуле (5)

.

Задача 35. Параллельный пучок атомов водорода, падающий под   углом скольжения к поверхности монокристалла, дает дифракционный максимум 1-го порядка при отражении от плоскостей с   межатомным расстоянием . Определите длину волны де Бройля атомов водорода и их скорость .

Дано Атом : ; ; ; .

Решение Для дифракции на кристалле легких частиц: электронов, - частиц, протонов, нейтронов, атомов водорода и гелия и др., – справедлива формула Вульфа – Брэггов, полученная для дифракции рентгеновских лучей (потока фотонов): (1) Осуществляя дифракцию атомов водорода на   монокристалле с известным расстоянием

между атомными плоскостями, и измеряя угол скольжения для  максимума 1-го порядка, по формуле (1) определяем длину волны атомов водорода:

.

Эта величина атомов водорода попадает в диапазон длин волн мягких рентгеновских лучей.

Для определения скорости атомов водорода воспользуемся формулой длины волны де Бройля свободно движущейся частицы:

, (2)

где – постоянная Планка; – импульс частицы; – ее масса и скорость.

Из этой формулы получаем расчетную формулу скорости атомов водорода и вычисляем величину :

.

Задача 36. Электрон, имеющий кинетическую энергию , находится в металлической пылинке диаметром . Оцените относительную неопределенность (точность) , с которой можно найти скорость электрона . 

Дано Электрон: ; ; .

Решение Рис. 52

Электрон, находящийся внутри пылинки, движется (так как имеет энергию ) в области, ограниченной диаметром (рис. 52). При этом его координата известна с точностью до размеров пылинки, причем, (см. рис. 52). В таком случае проекция импульса электрона имеет неопределенность , величина которой следует из соотношения неопределенностей:

, (1)

где – постоянная Планка.

Неопределенность проекции импульса приводит к неопределенности проекции скорости частицы :

(2)

Используя формулу (1), определим неопределенность проекции скорости:

(3)

Чтобы найти относительную неопределенность скорости, найдем скорость электрона из его кинетической энергии:

(4)

С помощью формул (3) и (4) получаем расчетную формулу точности определения скорости электрона, находящегося в пылинке:

(5)

Здесь учтено, что величина – диаметру пылинки.

Вычисляем по формулу (5) отношение , показывающее точность определения скорости электрона:

; .

Полученная неопределенность скорости электрона в пылинке мала по  сравнению с таковой для атома водорода , где . Это объясняется соотношением размеров областей, где находится электрон, и  определяющих неопределенность координаты ; оно таково: ; а произведение этих неопределенностей одинаково для данной частицы (электрона): .

Задача 37. Принимая, что минимальная энергия нуклона в ядре и используя соотношение неопределенностей , оцените линейный размер ядра.

Дано Нуклон: ; ; .

Решение Нуклоном называют частицу, входящую в  состав ядра – это и протон, и нейтрон. Размер ядра определяет неопределенность координаты частицы . Эту неопределенность найдем по соотношению неопределенностей:

 , (1)

где – неопределенность проекции импульса нуклона.

Что известно об импульсе нуклона в ядре? В рамках капельной модели ядра нуклоны в нем колеблются (подобно колебаниям молекул в жидкости); при этом энергия нуклона, совершающего гармонические колебания, складывается из кинетической и потенциальной энергии частицы: . При прохождении нуклоном положения равновесия его потенциальная энергия , а кинетическая энергия ; соответственно

. (2)

Но кинетическая энергия частицы связана с ее импульсом формулой:

. (3)

С учетом равенства (2) получаем значение импульса нуклона:

(3а)

Таким образом, импульс нуклона известен с неопределенностью

(4)

Подстановка этой величины в формулу (1) дает расчетную формулу для оценки линейного размера атомного ядра:

. (5)

Вычисляем величину :

.

Этот результат, полученный по соотношению неопределенностей, прекрасно согласуется с экспериментальной оценкой Резерфордом размера атомных ядер: , – по рассеянию альфа-частиц металлической фольгой.

Задача 38. Время жизни возбужденного атома . С какой наименьшей погрешностью может быть определена энергия фотона, излучаемого атомом?

Дано ;

Решение Возбужденные состояния атома короткоживущие и   малое время жизни приводит к заметной неопределенности энергии такого состояния: согласно соотношению неопределенностей

, (1)

где – время существования данного энергетического состояния.

С

уществование неопределенности означает, что энергетический уровень такого состояния имеет ширину , т. е. является размытым (рис. 53).

энергетический уровень основного состояния ( энергетический уровень возбужденного состояния ( Рис. 53

Переходы электронов в различных атомах с размытого уровня, который занимает интервал энергий от (см. рис. 53), сопровождается излучением фотонов с различной энергией – в  соответствии со вторым постулатом Бора. При переходе электрона атома из одного стационарного состояния в другое (с меньшей энергией) излучается фотон, энергия которого равна разности энергий соответствующих стационарных состояний:

а) при переходе электрона с нижней границы размытого уровня на первый с энергией :

; (2)

б) при переходе электрона с верхней границы размытого уровня, где энергия атома равна :

(3)

Вычитая уравнение (2) из 3-го, получаем наибольшую разность энергий фотонов , которая вносится размытием энергетического уровня возбужденного состояния атома:

(4)

Наибольшая разность энергий фотонов , излучаемых любыми двумя одинаковыми атомами при переходе электрона , – это и есть неопределенность энергии излучаемого фотона. Эта неопределенность, с учетом формулы (1):

(5)

Оценим ее величину:

.

Задача 39. Атом испустил фотон с длиной волны . Длительность излучения . Определите наибольшую точность , с которой может быть измерена длина волны излучения.

Дано ; . ?

Решение В соответствии с соотношением неопределенностей уровень энергии возбужденного состояния атома имеет ненулевую ширину :  , (1) где – неопределенность энергии атома в возбужденном

состоянии, равная ширине этого размытого уровня энергии (см. рис. 53); – время существования данного возбужденного состояния.

При переходах электронов в различных атомах с разных по высоте точек, находящихся в зоне возбужденного уровня, излучаются фотоны с   энергией, лежащей в интервале от , частота которых находится в области от , (см. рис. 53). Запишем формулу Планка для энергии этих фотонов:

; (2)

(3)

Оценим неопределенность частоты излучаемых фотонов, вычитая уравнение (2) из уравнения (3):

(4)

Используя соотношение неопределенностей (1), определим ширину данной спектральной линии по шкале частот:

(5)

Относительная ширина спектральной линии

. (6)

Вычисляем:

Покажем, что относительная ширина спектральной линии одинакова как по шкале частот, так и по длинам волн, т. е. . Так как, согласно сделанному выше расчету, , т. е. величина , то можно отождествить измеряемый разброс по частотам с бесконечно малым приращением : . Дифференцируем формулу связи длины волны и частоты :

. (7)

Следовательно, монохроматичность спектральной линии, или ее относительная ширина . Знак в формуле (7) опущен, так  как он указывает только на то, что с увеличением частоты света убывает его длина волны .