Расчетные формулы

Модель скользящей средней в качестве объясняющих переменных содержит комбинацию белых шумов, то есть ряд Y_t описывается процессом МА (τ):

где u_t – «белый шум».

Авторегрессионная модель порядка τ-AR(τ) имеет следующий вид:

,

где u_t – «белый шум».

Процесс МА (τ) всегда стационарен. Процесс AR(τ) либо стационарен и может быть представлен в виде скользящего среднего, либо не стационарен.

Модель ARMA (p,q) выглядит следующим образом:

Выбор параметров p и q модели ARMA определяется как этап идентификации процесса путем сравнения функции автокорреляции ACF и частной автокорреляции PACF. Для любого стационарного авторегрессионного процесса автокорреляционная функция (ACF) будет уменьшаться по экспоненте. Частная автокорреляционная функция τ_kk (PACF) определяет корреляцию между текущим и произошедшим k периодов назад наблюдением после удаления косвенного влияния других наблюдений и определяет порядок авторегрессионного процесса. Важнейшие свойства этих функций представлены в таблице 6.1

Таблица 6.1.

Свойства теоретических функций ACF и PACF процесса ARMA

Процесс	Функция автокорреляции ACF	Функция частной автокорреляции PACF
AR(p)	Бесконечная, убывающая (убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)	Конечная, обрывается после p периодов (убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)
MA(q)	Конечная, обрывается после q периодов	Бесконечная, убывающая (убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)
ARMA (p,q)	Бесконечная, убывающая (после первых p-q периодов убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)	Бесконечная, убывающая (после первых p-q периодов убывающие показательные функции и/ или синусоиды с возмущениями)

Кроме анализа графиков ACF и PACF для идентификации модели ARMA можно использовать информационные критерии Акайке, Шварца, Ханнан-Куина. Цель - получить модель с минимальными значениями информационных критериев.

Критерий Акайке:

или

Критерий Шварца:

или

Критерий Хеннана-Куина:

, или

где - остаточная дисперсия; k=p+q+1 – число оцениваемых параметров; T – размер выборки. Этот критерий недооценивает порядок модели при небольших объемах выборки.

Проверка адекватности выбранной модели основана на исследовании остатков на стационарность – наличие «белого шума» , с помощью Q-статистики Бокса-Льюинга:

Нулевая гипотеза о независимости и одинаковой распределенности остатков (адекватности модели) отвергается, если Q>χ²кр (α,M-p).

Для описания нестационарных однородных временных рядов применяется модель Бокса-Дженкинса (ARIMA –модель): (Auto Regressive Integrated Moving Average (ARIMA (p,s,q)). Символ I (Integrated) отвечает за порядок оператора последовательной разности.

Для измерения качества подгонки модели Бокса-Дженкинса можно использовать следующие информационные критерии:

1. Критерий Акайка (Akaike information criterion, AIC):

2. Критерий Шварца (Swarz criterion):

Выбор следует сделать в пользу модели с меньшим значением AIC, SIK.