159. Фігури Ліссажу.

Фігури Ліссажу — замкнуті траєкторії, що прокреслюються точкою, що здійснює одночасно два гармонійних коливання у двох взаємно перпендикулярнихнапрямках. Вперше вивчені французьким ученим Ж. Ліссажу (фр. J. Lissajous; 1822-1880). Вид фігур залежить від співвідношення між періодами (частотами), фазами і амплітудами обох коливань. У найпростішому випадку (за рівності обох періодів) фігури являють собою еліпси, які при різниці фаз 0 або π вироджуються у відрізки прямих, а при різниці фаз π/2 і рівності амплітуд перетворюються в коло. Якщо періоди обох коливань не точно збігаються, то різниця фаз весь час змінюється, внаслідок чого еліпс весь час деформується. При істотно різних періодах фігури Ліссажу не спостерігаються. Однак, якщо періоди відносяться як цілі числа, то через проміжок часу, рівний найменшому кратному обох періодів, точка, що рухається, знову повертається в те ж положення — виходять фігури Ліссажу складнішої форми. Фігури Ліссажу вписуються в прямокутник, центр якого збігається з початком координат, а сторони паралельні осям координат і розташовані по обидва боки від них на відстанях, рівних амплітудами коливань.

У там випадку, коли частоти взаємно перпендикулярних коливань, у яких одночасно бере участь розглянута крапка, ставляться як цілі числа, траєкторія руху являє собою складні криві, що одержали назву фігур Лиссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і різниці фаз, що складаються коливань.

Відношення частот, що складаються коливань дорівнює відношенню числа перетинань фігур Лиссажу із прямими паралельними осям координат. По виду фігур Лиссажу можна визначити невідому частоту по відомій, або визначити відношення частот ω1 і ω2.

160. Вимушені коливання. Явище резонансу.

Коливальним називається рух, при якому матеріальна точка (або система точок), багаторазово відхиляючись від свого положення рівноваги, щоразу знову повертається до нього.

Вимушеними називають коливання системи, які відбуваються при дії на систему (протягом усього періоду коливань) заданих зовнішніх сил, що періодично змінюються і діють неперервно незалежно від коливань у системі..

Г рафік ідеалізованого власного коливання являє собою синусоїду або косинусоїду. Однак у будь-якій реальній коливальній системі, внаслідок неминучості дії сил тертя й опору, власні коливання згасають, тобто їх амплітуда зменшується з часом. У природі і техніці дуже часто реалізуються не власні, а вимушені коливання, тобто коливання під дією зовнішньої (змушуючої) сили. Прикладом вимушених коливань є міст під ногами людей та мембрана мікрофона.

Вимушені коливання можуть бути незгасаючими, якщо зовнішня дія буде компенсувати зменшення енергії в системі, викликане дією сил тертя й опору.

Очевидно, що вимушені коливання відбуваються з частотою, що дорівнює частоті вимушеної сили. Амплітуда вимушених коливань:

А =

де w - власна колова частота; w_в –вимушена колова частота,

F₀ – амплітудне (максимальне) значення сили;

Особливим проявом дії зовнішньої сили є явище резонансу — стрімкого (різкого) зростання амплітуди вимушених коливань за умови збігу частоти власних коливань системи і частоти, з якою змінюється зовнішня сила.

Першим проявом резонансу було руйнування мосту через річку Луар у Франції у 19ст., коли солдати крокували по мосту нога в ногу.

Резонанс характеризують інтенсивністю, напівшириною спектральної лінії та добротністю.

,

де ω — частота зовнішньої сили,

ω₀ — частота власного коливання,

Γ — стала затухання, яку називають також шириною лінії.

Добротність коливальної системи – величина, яка показує у скільки разів амплітуда вимушених коливань системи при резонансі перевищує амплітуду зовнішніх збурюючих систему коливань.