2. Методические указания по выполнению задания

Процесс исследования методом статистического имитационного моделирования (метод Монте-Карло) включает в себя следующие этапы:

Определение стохастической природы объекта исследования, т.е.

– определение теоретических законов распределения случайных величин, статистическое исследование случайных процессов;

– подтверждение гипотез о теоретических законах распределения случайных величин.

Имитация движения входных переменных с помощью многократного генерирования случайных чисел, корректируемых с таким расчетом, чтобы иметь такое же распределение вероятностей, как и основная переменная. Это подразумевает преобразование случайных чисел с равномерным распределением, сгенерированных компьютером, в случайные переменные с таким же распределением, что и переменные, предназначенные для моделирования. Скорректированные случайные переменные являются входными переменными.

Осуществление моделирования – объединение входных переменных вместе в соответствии с логикой системы, описывающей, каким образом связаны входные переменные и как получаются выходные. С помощью многократного генерирования случайных чисел мы получаем будущее значение искомой переменной.

Многократное повторение этого процесса позволяет найти среднюю полученных значений. Эта средняя – будущее (ожидаемое) значение моделируемой переменной.

Применение техники контроля разбросанности – определение на основе полученной имитацией статистики о поведении процесса стохастической природы объекта исследования.

Рассмотрим пример выполнения задания.

1 Пусть дана статистическая выборка (число заявок на грузовые перевозки в отчетном периоде, ваг.).

28	35	41	43	46	49	52	54	28	35
31	37	41	43	47	49	52	55	31	37
32	37	41	44	47	50	53	55	32	37
34	38	41	44	48	50	53	58	34	38
34	40	42	45	48	51	54	58	34	40

Построим гистограмму распределения.

Разобьем интервал (Х_мин, Х_мах) на 10 частей (Х_мин, Х_мах) – (28, 58).

Определим число попаданий случайной величины в интервалы (графы 1–5 в табл. 7.2):

Таблица 7. 2

i	Интервал		Xсер	Ni,эмп	Pi, эмп	Pi, теор	Отклонения (Pi, эмп – Pi, теор) 2/ Pi, теор)
1	2		3	4	5	6	7
1	28	31	29,5	2	0,0500	0,0210	0,0399
2	31	34	32,5	3	0,0750	0,0422	0,0255
3	34	37	35,5	2	0,0500	0,0729	0,0072
4	37	40	38,5	3	0,0750	0,1086	0,0104
5	40	43	41,5	6	0,1500	0,1392	0,0008
6	43	46	44,5	5	0,1250	0,1538	0,0054
7	46	49	47,5	5	0,1250	0,1463	0,0031
8	49	52	50,5	5	0,1250	0,1199	0,0002
9	52	55	53,5	6	0,1500	0,0847	0,0504
10	55	58	56,5	3	0,0750	0,0515	0,0107
				40			6,14917
Среднее значение					45
Среднеквадратическое отклонение					7,7658

Построим гистограмму эмпирических частот по графе 4 табл. 7.2 (рис. 7.1).

Рис. 7.1

2 По виду гистограммы выдвинем гипотезу о законе распределения. Соединяя вершины столбиков, мы предполагаем, что эта случайная величина имеет нормальный закон распределения.

Вычислим математическое ожидание (выборочное среднее) случайной величины. Используем функцию СРЗНАЧ (C5:C44), для данных выборки (C5:C44 – диапазон выборки), результат поместим в последние строки таблицы, и среднеквадратическое отклонение на основе функции =ДИСП (C5:C44)^0,5.

3 Вычислим теоретические частоты, используя встроенную функцию генерации нормально распределенных случайных величин НОРМРАСП (H12;$J$22;$K$22;ЛОЖЬ), Н12 – значение графы 3, $J$22 – среднее значение, $K$22 – среднеквадратическое отклонение. Для сопоставимости значений граф 5 и 6, полученные вероятности умножаем на = (Х_мах – Х_мин)/10.

Теоретические частоты приведены в графе 6 табл. 7.2 и на рис. 7.2.

Рис. 7.2

Вычислим Хи-квадрат – критерий для проверки соответствия эмпирического распределения теоретической. В графе 7 табл. 7.2 приведены результаты расчетов.

Выбреем уровень значимости критерия 0,5 и сравним полученное отклонение с табличным (см. приложение) для числа степеней свободы 10–2 = 8. Полученное значение 6,14 меньше критического (из таблицы 7,34), поэтому мы можем принять гипотезу о нормальном законе распределения.

4 Сгенерируем нормально распределенные случайные числа со средним и среднеквадратическим отклонением, полученными в расчетах.

Для этого, воспользуемся встроенной функцией генерации равномерно распределенных чисел в интервале (0,1) – СЛЧИС(), преобразованием их в случайные числа с нормальным распределением по формуле

СЛЧИС()+СЛЧИС()+СЛЧИС()+СЛЧИС()+СЛЧИС()+СЛЧИС()+

+СЛЧИС()+СЛЧИС()+СЛЧИС()+СЛЧИС()+СЛЧИС()+СЛЧИС()-6

Обозначим полученное число через R.

Далее полученное случайное число умножаем на среднеквадратическое отклонение и складываем со средним, т.е. если M – среднее значение, S – среднеквадратическое отклонение, то M + S · R – случайная величина с нормальным распределением.

Сгенерируем 100 случайных чисел, представленные в нижеследующей таблице:

45	44	40	45	45
41	36	51	45	38
50	45	34	52	50
43	42	51	67	49
40	48	48	46	34
59	42	44	49	45
46	36	48	45	44
49	51	66	49	44
41	41	58	46	30
54	54	48	32	45
42	39	51	35	39
36	59	46	43	50
46	44	54	53	61
46	46	51	48	40
48	42	48	44	54
34	36	40	33	56
46	42	49	42	51
29	63	54	43	41
39	48	50	31	57
53	56	41	46	37

5 Пусть требуется определить вероятность превышения числа заявок наличного парка вагонов оператора, если число вагонов равно 55 единиц.

Упорядочим статистику и определим вероятность того что, число заявок будет выше числа вагонов:

29	40	44	48	51
30	40	44	48	51
31	41	45	48	52
32	41	45	48	53
33	41	45	48	53
34	41	45	48	54
34	41	45	48	54
34	42	45	49	54
35	42	45	49	54
36	42	45	49	54
36	42	46	49	56
36	42	46	49	56
36	42	46	50	57
37	43	46	50	58
38	43	46	50	59
39	43	46	50	59
39	44	46	51	61
39	44	46	51	63
40	44	46	51	66
40	44	48	51	67

Таким образом, каждая 10 заявка не будет исполнена из-за отсутствия вагонов.

6 Определить целесообразность привлечения дополнительно 3 вагонов других компаний, если они обеспечивают дополнительный доход в сумме 2 тыс. руб., а в случае их простоя (неиспользования) компания теряет 5 тыс. руб.

Вычислим P_i вероятность того, что компании потребуется дополнительно i вагонов.

P₁ = 2/100 = 0,02

P₂ = 1/100 = 0,01

P₃ = 1/100 = 0,01

P_>3 = 6/100 = 0,06

Тогда средний ожидаемый доход от привлечения 3 вагонов составит:

Z = P₁(1*2 – 2*5) + P₂(2*2 – 1*5) + P₃(3*2 – 0*5) + P_>3*6= 0,02*(–8) + + 0,01*(–1) + 0,01*6 + 0,06*6 = – 0,16 – 0,01 + 0,06 + 0,36 = 0,25.

Так как значение Z положительное, рекомендуется привлечь дополнительно 3 вагона для обеспечения перевозок.