3. Сетевое планирование в условиях неопределенности

Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно и потому в практической работе вместо одного числа (детерминированная оценка) задаются две оценки – минимальная и максимальная. Минимальная (оптимистическая) оценка характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) – при наиболее неблагоприятных. Продолжительность работы в этом случае рассматривается как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение оценивается по формуле (при бета-распределении плотности вероятности):

.

Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии :

.

На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики сетевого графика (СТ), однако они будут иметь иную природу, будут выступать как средние характеристики. При достаточно большом количестве работ можно утверждать (а при малом – лишь предполагать), что общая продолжительность любого, в том числе и критического, пути имеет нормальный закон распределения со средним значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих его работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.

Кроме обычных характеристик СТ, при вероятностном задании продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:

1. определить вероятность того, что продолжительности критического пути не превысит заданного директивного уровня T;

2. определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ при заданном уровне вероятности P.

Первая задача решается на основе интеграла вероятностей Лапласа c использованием формулы:

,

где Z – нормированное отклонение случайной величины:

;

– среднее квадратичное отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути . Дисперсия продолжительности критического пути равна сумме дисперсий работ составляющих критический путь.

Соответствие между z и симметричным интегралом вероятностей приведено в табл. 11.12. Более точное, соответствие между этими величинами (когда Z вычисляется более чем с одним знаком в дробной части) можно найти в специальной литературе.

Таблица 11.12

z	Ф(z)	z	Ф(z)	z	Ф(z)
0	0,0000	1,0	0,6827	2,0	0,9643
0,1	0,0797	1,1	0,7287	2,1	0,9722
0,2	0,1585	1,2	0,7699	2,2	0,9786
0,3	0,2358	1,3	0,8064	2,3	0,9836
0,4	0,3108	1,4	0,8385	2,4	0,9876
0,5	0,3829	1,5	0,8664	2,5	0,9907
0,6	0,4515	1,6	0,8904	2,6	0,9931
0,7	0,5161	1,7	0,9104	2,7	0,9949
0,8	0,5763	1,8	0,9281	2,8	0,9963
0,9	0,6319	1,9	0,9545	2,9	0,9973

При достаточно большой полученной величине вероятности (более 0,8) можно с высокой степенью уверенности предполагать своевременное выполнение всего комплекса работ.

Для решения второй задачи используют формулу:

Кроме выше описанного упрощенного способа расчета сетей с детерминированной структурой и вероятностными оценками продолжительности выполнения работ, используют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В соответствии с ним на компьютере многократно моделируют продолжительности выполнения всех работ и рассчитываются основные характеристики СТ. Большой объем испытаний позволяет более точно выявить закономерности моделируемой сети.

Задача. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Наличный ресурс равен 10 (рис. 11.11).

Рис. 11.11

Найдем критический путь (рис. 11.12).

Рис. 11.12

Строим график Ганта. В скобках для каждой работы укажем требуемое количество ресурса (рис 11.13).

Рис. 11.13

По графику Ганта строим график ресурса. На оси абсцисс мы откладываем время, а на оси ординат – потребности в ресурсах (рис. 11.14). Считаем, что все работы начинаются в наиболее ранний срок их выполнения. Ресурсы складываются по всем работам, выполняемым одновременно. Также проведем ограничительную линию по ресурсу (в нашем примере это y = 10).

Рис. 11.14

Из графика видно, что на отрезке от 0 до 4, когда одновременно выполняются работы B, A, C, суммарная потребность в ресурсах составляет 3 + 4 + 5 = 12, что превышает ограничение 10. Так как работа C критическая, то необходимо сдвинуть сроки выполнения или A, или B (рис 11.15).

Рис. 11.15

Запланируем выполнение работы B с 6-го по 10-й день. На сроках выполнения всего проекта это не скажется и даст возможность остаться в рамках ресурсных ограничений.

Контрольные вопросы

1 Что собой представляют дуги и вершины в сетевом графике?

2 Правила построения сетевых графов? Что не допускается в сетевых графиках?

3 На какие вопросы дают ответы сетевые графики?