10. 10 Принятие решения в условиях неопределенности

Задание 1. Платежная матрица в игре с природой имеет вид (k-номер варианта), рис. 10.1

Sj Аi	S1	S2	S3	S4
А1	42	13+k	k+10	25
А2	30	15+k	28–k	31
А3	5+2k	18	15+k	3k
А4	k+15	10+k	24	20
А5	5+2k	20	15+k	32–k

Рис. 10.1

1. Найти оптимальную стратегию игрока по критерию Вальда.

2. Найти оптимальную стратегию игрока по критерию максимума математического ожидания выигрыша при P = (0,15; 0,5 – 0,01k; 0,18; 0,17 + 0,01k).

3. Найти оптимальную стратегию игрока по критерию Севиджа.

4. Найти оптимальную стратегию игрока по критерию Гурвица, если параметр γ = 0,3 + 0,01k.

Задание 2. Определить предельную стоимость эксперимента для установления истинного состояния природы при матрице выигрышей, представленной на рис. 10.1, и вероятностей состояний природы P = (0,15; 0,5 – 0,01k; 0,18; 0,17 + 0,01k).

Стоит ли проводить эксперимент, если его стоимость равна С = 1,3 + 0,2k – 0,01k².

Методические указания по выполнению заданий

Задачи такого плана решаются в двух ситуациях: в условиях неопределённости – отсутствие полной или частичной информации о действиях противоположной стороны и в условиях риска – наличие информации о распределении вероятностей состояния противоположной стороны.

Отличие данных задач от рассмотренных ранее задач теории (статистических) игр состоит в том, что в первых игроки (противоположные стороны) имеют противоположные интересы и действуют разумно (рационально) для получения максимального для себя выигрыша. В этих задачах один из противников предлагает множество стратегий (c известными или неизвестными вероятностями). Такого «пассивного» игрока называют природой, а первого игрока – статистом.

На практике в качестве состояний природы выступает совокупность факторов, влияющих на эффективность принятия решений. Выделим n состояний природы по различным «комбинациям» совокупности факторов. Тогда можно определить функцию потерь (или функцию эффективности) принятых решений (стратегии). Далее будем оперировать функцией эффективности. Определим значение, функции эффективности как элементы некоторой матрицы:

А = a_ij _mxn ,

где a_ij – эффективность i-го решения (стратегии) игрока при j-м состоянии природы;

Пусть p₁, р₂, ..., p_n – вероятности (априорные) состояния природы: р₁ + р₂ + ... + р_n = 1.

Известны различные критерии определения стратегии с максимальным ожидаемый эффектом.

Критерий максимума математического ожидания

Критерий максимума математического ожидания используется при известных априорных вероятностных состояниях природы P=(р₁ , p₂ , ... , p_n).

p₁ + p₂ + p₃ + ... +p_n = 1.

Выбирается та стратегия, которая отвечает ожидаемому максимуму выигрыша , т.е.

В случае, когда р₁ = р₂ = ... = р_n =  – состояния природы равновероятны, имеет место критерий Лапласа:

Максиминный критерий Вальда

Рассмотрим критерии, при которых вероятности состояния природы неизвестны. Одним из таких критериев является максиминный критерий Вальда.

,

По критерию Вальда выбирают стратегию, обеспечивающую нижнюю цену игры.

Критерий Севиджа (критерий минимального риска)

Определим матрицу риска следующим образом:

R = r_ij _mxn , r_ij=_j – a_ij , _j= a_ij , j=1,2,...,n, i=1,2,...,m.

r_ij – определяет потери связанные с выбором i-й стратегии игроком, если природа оказалась в j-м состоянии (стратегии).

По критерию Севиджа выбирают стратегию, при которой величина риска наименьшая в самой неблагоприятной ситуации, т.е.

S= r_ij,

i=1,2,..., m, j=1,2,..., n .

Критерий Гурвица (критерий пессимизма-оптимизма)

Согласно критерию Гурвица игрок выбирает то действие, при котором имеет место

, 0  γ  .

При γ   получается критерий оптимизма, при γ = 0 получаем критерий крайнего пессимизма (максиминный критерий Вальда) . Параметр γ – называют коэффициентом доверия.

При 0 < γ < 1 получаем некоторое серединное состояние между «оптимизмом» и «пессимизмом».

Как и при решении задач теории игр выделялись доминируемые стратегии игроков, в задачах теории статистических решений это условие не теряет силу.

Определение. Стратегия k называется недопустимой, если существует некоторая стратегия l такая, что , j=1,2,...,n, причем хотя бы одно неравенство выполняется как строгое.

При решении задач теории стратегических решений недопустимые стратегии исключаются из рассмотрения.

Пример 1. Возможны 3 состояния цен на рынке сбыта и 4 возможны варианта (планов) производства продукции. Известны прибыли от реализации планов при каждом уровне цен, которые заданы матрицей

.

i = 1, 2, 3, 4 – варианты плана производства, j = 1, 2, 3 – уровни цен рынке сбыта.

Принять решение о выборе варианта плана производства по критериям: Вальда, Севиджа, Лапласа, и критерием максимума математического ожидания если р₁ = , р₂ = , p₃ = .

1 Критерий Вальда

A=

W =  ; ;

W =  ;

i_opt = 1.

2 Критерий Севиджа

.

 _j =  ;

R = 

S =  ;

i_opt =1.

3 Критерий Лапласа

A = 

L = 

i_opt =1.

По всем трем критериям следует выбрать первый вариант плана.

4. Критерий максимума математического ожидания

.

A= .

a_ij p_j=

;

i_opt = 2.

Если из прошлых лет известно, что вероятности состояния уровня цен равны ; ; , то по критерию максимума математического ожидания следует выбрать второй (i_opt = 2) вариант плана производства.

Принятие решений в условиях неопределенности с проведением эксперимента

Пусть известны вероятности состояния природы р₁,p₂,...,p_n.,

.

А= a_ij _mxn – матрица эффекта (выигрышей). Для снижения неопределенности игрок (лицо, принимающее решение) может провести эксперимент стоимости C, направленный на установление действительного состояния природы.

Если эксперимент не проводят, надо выбрать действие, доставляющее максимум математического ожидания эффекта, т.е.

i_opt = arg .

Определим максимальную стоимость эксперимента:

_j = ;

r_ij = _j – a_ij – элементы матрицы риска.

Средний риск при i-ой стратегии игрока:

.

.

Эксперимент следует проводить, если его стоимость не превышает среднего ожидаемого риска, т. е.,

После проведения эксперимента устанавливается действительное состояние природы, например j₀. Тогда, с учетом последнего, надо выбрать действие

i_opt =arg .

Пример 2. Пусть в условиях предшествующей задачи (см. пример 1), возможно производить эксперимент (научное исследование), направленное на установление ожидаемого уровня цен на рынке сбыта. Определить максимальную (предельную) стоимость эксперимента. Принять p₁ = ; p₂ = ; p₃ = .

Решение

Воспользуемся расчётами из примера 1.

Вычислим

(r_ijp_j)

( ; ; ; .

Таким образом, максимальная (предельная) стоимость эксперимента равна .

Эксперимент проводится, если его стоимость менее 4/5, а если его стоимость более 4/5, то эксперимент не проводится и выбирается действие доставляющее максимум математического ожидания выигрыша i_opt = 2 (см. пример 1, п. 4).

Контрольные вопросы

1 Каким образом выбирают критерий для нахождения оптимального решения в играх с природой?

2 Что выражает параметр в критерии Гурвица?

3 На что направлен эксперимент и что выражает предельная стоимость эксперимента?