Дифференциальное уравнение теплопроводности
Для вычисления температуры точек тела необходимо не только установить тепловой поток через заданное сечение, но и определить количество теплоты, поступающей в некоторый элементарный объем, а также уходящей из него.
Рассмотрим неравномерно нагретый стержень
Т
х
Согласно закону Фурье, тепловой поток в каждом сечении
Приращение удельного теплового потока dq2x на длине dx составит
.
За время dt в элементарном объеме Fdx накапливается количество теплоты
dQx = - dq2x Fdt .
Знак минус означает, что через сечение I вошло больше теплоты, чем вышло через сечение II.
Однако через боковую поверхность стержня за время dt часть теплоты отдается в окружающее пространство
dQp = q2p pdxdt,
где q2p =(Т-Тс) – удельный тепловой поток с боковой поверхности стержня с периметром р .
Суммарное количество теплоты, которое накапливается в элементарном объеме, составит
dQ= dQx - dQp
Теплота dQ
повышает температуру элементарного
объема массой Fdx
на
в
соответствии с уравнением
Делая соответствующие подстановки для dQ и произведя сокращения, получим дифференциальное уравнение теплопроводности для стержня
где a=c – коэффициент температуропроводности, см2/с;
b=pcF) – коэффициент температуроотдачи для стержня.
Для двухмерного случая дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид
,
где b=2c) – коэффициент температуроотдачи для пластины толщиной .
Для трехмерного тела при отсутствии теплообмена с окружающей средой примет вид
При выводе дифференциальных уравнений теплопроводности предполагалось, что теплофизические коэффициенты постоянны и не зависят от температуры. Учет их зависимости от температуры приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям, что чрезвычайно усложняет получение решения аналитическими методами и делает неприемлемым принцип суперпозиции. В большинстве практических случаев точность решения оказывается достаточной, если выбирать средние значения теплофизических величин в исследуемом диапазоне температур.
Температурные поля от неподвижных источников
Решение дифференциального уравнения теплопроводности для мгновенного точечного источника в бесконечном теле приводит к уравнению
,
где
приращение температуры в рассматриваемой
точке с координатами x,y,z.;
t
– время, отсчитываемое от момента
включения источника с количеством
теплоты Q
;
расстояние рассматриваемой точки от
начала координат, помещенного в точку
ввода источника.
Распределение температуры при распространении теплоты от мгновенного источника Q, приложенного в начале координат О на поверхности полубесконечного тела, будет аналогично случаю бесконечного тела. Т.к. теплообмен на границе xOy отсутствует и теплота распространяется только в одну сторону от плоскости xOy , то возможно использование уравнения для бесконечного тела с удвоением величины Q
.
Теплоотдачей в этом случае можно пренебречь
Приращение температуры прямо пропорционально количеству введенной теплоты. Температура в любой точке, кроме О, вначале повышается, достигает максимума и далее убывает, причем скорость нагрева всегда выше скорости охлаждения по абсолютной величине.
T
R=0
R1
R2
t
В точке О температура в начальный момент равна бесконечности и скорость охлаждения максимальна.
Приращение температуры в пластине от мгновенного линейного источника Q , равномерно распределенного по толщине пластины , не зависит от координаты z и с учетом теплоотдачи с поверхности пластины находится из уравнения
где r2 = x2 + y2 – квадрат расстояния от рассматриваемой точки до места ввода источника .
Приращение температуры в стержне от мгновенного плоского источника Q , равномерно распределенного по площади поперечного сечения стержня F, не зависит от координат z и y и находится из уравнения
,
где х – расстояние от места ввода источника до данной точки .
Изменение температуры во времени в пластине и стержне качественно протекает так же, как и в полубесконечном теле. Однако распространение температуры менее свободно в пластине и, тем более, в стержне. Процесс изменения температуры во времени происходит в пластине и стержне медленней.