Вывод расчетных формул для одноосных внутренних напряжений.

Разобьем сечение бруса на слои одинаковой толщины.

1. В пределах каждого слоя температура усредняется и равна Т_i

2. В пределах каждого слоя физико-механические характеристики постоянны и зависят от температуры слоя ((Т_i), E(T_i), _s(T_i))

В результате неравномерного нагрева каждый слой i удлинится на длину l_i. В соответствии с гипотезой плоского сечения, правый край повернется относительно левого на угол .

Условие совместности деформации всех слоев бруса

l₁= l_i + (i-1);  пропорционально углу поворота .

В любой полосе i абсолютное удлинение l_i складывается из свободного теплового удлинения ( Т_i )T_i и деформации от внутренних напряжений _i

l_i= T_i+_i

Условие равновесия внутренних усилий

_iF_i=0

Считая, что площадь всех слоев одинакова, получим

_i=0 или _i E_i=0

Условие равновесия моментов от внутренних усилий

_i F_i ^. i ^.=0

Т.к. F и  постоянны, то получим

_i ^. i =0 или _i E_i ^. i=0

Из условий совместности деформации получим

Подставим значение _i в уравнения равновесия внутренних усилий

Находим значение величины ₁+ ₁Т₁

Отсюда найдем значение

Подставим значение _i в условие равновесия моментов и получим

Введем для сокращения записи обозначения

Ro=E_i ; R₁= iE_i ; R₂=E_i i² ; R_a = E_i _i_i ; R_a1 = iE_i _i_i

.

Отсюда

.

Если 0, то брус деформируется согласно схеме, если  0 – то в обратную сторону.

Напряжения в каждом слое вычисляются по формуле

_i = _i E_i .

Упругопластическое деформирование

Напряжение в любом случае не может по абсолютной величине превышать предел текучести. Если расчетные напряжения превышают придел текучести, то применяется следующий формальный прием ( для идеальной текучести ):

1. Напряжение в слое с пластическими деформациями принимаются равными пределу текучести при температуре слоя. Знак напряжения в данном слое соответствует знаку, полученному при упругом расчете.

2. Модуль упругости Е_i в слоях с пластической деформацией принимается равным нулю.

1. Интегральные выражения R _а и R _а1 принимают более общие значения:

где sgn(x) – знаковая функция; sgn(x)=1 при х0 и sgn(x)=-1 при х0.

E(T_i) – модуль упругости i-ого слоя при температуре T_i.

4. С учетом новых знаний модуля упругости определяются интегральные выражения R₀, R₁, R₂ и далее вычисляется  .

5. Производится перерасчет напряжений по выведенным выше формулам.

Последовательность расчета кинетики внутренних напряжений при сварке

Выведение выше формулы позволяют рассчитывать кинетику внутренних напряжений, при сварке листов.

В процессе расчета учитывают температурные зависимости физико-механических свойств и история нагружения. Важным преимуществом этих формул является возможность расчета сварных соединений из разнородных металлов.

При расчете кинетики внутренних напряжений используется гипотеза одновременного наложения валика. Известно, что термические циклы точек, расположенных на одинаковом расстоянии от траектории источника, одинаковы, но сдвинуты во времени. Гипотеза одновременности наложения валика предполагает совмещение температурных циклов по времени, т. е. температура не зависит от координаты .. Экспериментальная проверка дает удовлетворительные результаты.

Расчет кинетики внутренних напряжений ведется в следующей последовательности.

1. Сечение бруса разбивается на n слоев. Точность вычислений расчет с ростом n.

2. Время термического цикла вплоть до полного остывания разбивается на L моментов времени. Точность расчетов возрастает с увеличением L.

3. Для данного момента времени рассчитывается распределение температуры по сечению бруса. Температура в пределах каждого слоя осредняется.

4. Рассчитывается приращение температуры в каждом слое.

5. Вычисляются интегральные характеристики R и 

6. Определяются приращения деформаций _i и напряжений _i

_i = _i E_i .

7.Вычисляется напряжения в каждом слое _i = _oi  _i .

8. Для всех слоев делается проверка на условие пластического течения  _s / _i  1. Из тех слоев, где выполняется это неравенство, выбирают слой с минимальным значением  _s /_i , т. к. именно с этого слоя начинается пластического течение.

9. В соответствии с выше изложенной методикой делается перерасчет интегральных характеристик R , , приращений деформаций и напряжений. После вычисления напряжений проверка на условие текучести повторяется в соответствии с п. 8.

10. При выполнении условия _s /_i  1 во всех слоях расчет заканчивается и делается переход к другому моменту времени. Расчет повторяется от п. 3.