Непрерывно действующие неподвижные источники

Процесс нагрева непрерывно действующим неподвижным источником теплоты можно представить как серию действующих друг за другом мгновенных источников теплоты. Используя принцип суперпозиции, распределение температуры находится путем интегрирования температурных полей от отдельных источников.

Предположим, что непрерывный точечный источник мощностью q на поверхности полубесконечного тела действовал в течение бесконечно малого промежутка времени dt и с тех пор прошло время t. Тогда приращение температуры определяется на основании уравнения для мгновенного источника

.

Если источник действовал в течение времени t непрерывно, то приращение температуры определяется путем интегрирования в пределах от 0 до t

Вводим замену R²/(4at) = u² и интегрируем

,

где

Аналогично выводятся формулы для пластины и стержня.

Непрерывные подвижные источники Точечный источник на поверхности полубесконечного тела

Точечный источник теплоты постоянной мощности q движется с постоянной скоростью v прямолинейно из точки Оо в направлении оси х.

Допустим, что с момента движения источника прошло время t_н и он находится в точке О. Вместе с источником перемещается подвижная система координат, начало которой совпадает с источником теплоты , т.е. с точкой О. Требуется определить приращение точки A(x,y,z).

Для этого запишем приращение температуры в точке А от мгновенного точечного источника, который действовал в течение времени dt в точке О₁ . С момента выделения теплоты в точке О прошло время t. Используем уравнение для мгновенного источника и, полагая Q=qdt, а расстояние , получим

Суммируем приращения температуры от всех элементарных источников теплоты на линни Оо. Интергирование ведем в пределах от 0 до t_н .

Точное аналитическое решение этого уравнения весьма затруднительно и на практике решение находится с помощью номограмм.

После продолжительного действия источника теплоты температура в подвижной системе координат перестает изменяться во времени. Такое предельное состояние распространения тепла достигается при t_н. В этом случае получается точное аналитическое решение для приращения температуры

Температурное поле предельного состояния симметрично относительно оси Ох. Изотермы на поверхности xOy представляют собой овальные кривые , сгущенные впереди источника. При vR/2a 0 изотермы близки к окружностям. Изотермические поверхности внутри тела образуются вращением изотерм вокруг оси Ох.

Y Y

X Z

Рассмотрим распределение температур в плоскости xOz и параллельных ей плоскостях.

Т

у=0

у=1

у=2

х

Температура точек при приближении источника резко возрастает, достигает максимума и далее убывает с меньшей скоростью. Чем дальше удалена точка от оси Ох , тем позже достигается максимум температуры после прохождения источника через проекцию точки на оси Ох и тем он меньше.