Линейный источник в бесконечной пластине

Линейный источник теплоты мощностью q с равномерным распределением по толщине пластины движется с постоянной скоростью v прямолинейно из точки Оо в направлении оси х. Граничные плоскости z=0 и z= отдают теплоту в окружающую среду, при этом коэффициент теплоотдачи равен  .

vt

Oo

O

x

O₁

vt_н

A(x,y,)

x

y

r

v

y



Уравнение, описывающее приращение температуры в пластине, получим аналогично случаю для полубесконечного тела. Приращение температуры в точке A(x,y) от мгновенного линейного источника, который действовал в точке О₁ , составит

Интегрируя от 0 до t_н , получим

В этом уравнении выражается приращение температуры в пластине на стадии теплонасыщения. В предельном состоянии распространения тепла, ко-

гда t_н , уравнение принимает вид

,

где b=2/(c) ;

;

Ко(u) – функция Бесселя 1-ого рода нулевого порядка для аргумента u, табулирована.

Для практических расчетов на ЭВМ с достаточной точностью приемлема приближенная формула

.

Качественно картины распределения приращения температуры в пластине и на плоскости хОу подобны. Однако из-за стесненных условий теплоотвода изотермы в пластине более вытянуты.

Быстродвижущиеся источники теплоты

При автоматической сварке весьма часто применяют мощные источники теплоты, движущиеся с большой скоростью. В предельном случае q→ ∞ и v→ ∞, однако соотношение q/v сохраняет некоторое конечное значение, равное погонной энергии источника q_п , т.е. количеству теплоты, вложенной на единицу длины шва. Использование понятия быстродвижущегося источника позволяет во многих практических случаях значительно упростить расчетные формулы для δТ.

Для точечного быстродвижущегося источника на поверхности полубесконечного тела выражение для δТ в точке А(х, y, z) примет вид

,

где t – время, отсчитываемое от момента пересечения источником проекции рассматриваемой точки на ось ОХ.

Отсутствие в уравнении координаты х показывает, что тепловые потоки вдоль оси ОХ пренебрежимо малы по сравнению с тепловыми потоками в поперечном направлении.

Для линейного быстродвижущегося источника в бесконечной пластине выражение для δТ в точке А(х, y, ) с учетом теплоотдачи примет вид

.

Полученными уравнениями не рекомендуется пользоваться при малых значениях t.

Период теплонасыщения. Период выравнивания температур

В период теплонасыщения, когда величина t_н имеет конечное значение, приращение температуры вычисляется по формуле

=_пр,

где _пр – приращение температуры, вычисленное по формулам для предельного состояния распространения тепла;

 -- коэффициент теплонасыщения, определяется по номограммам в зависимости от безразмерных критериев времени  и расстояния .

Для полубесконечного тела (три измерения)

₃ = vR/2a , = v² t_н/4a

Для пластины (два измерения)

, .

Из номограммы следует, что чем ближе точка к источнику и больше теплопроводность, тем раньше наступает предельное состояние ( 1).

Известны приближенные формулы для расчета :

Для двухмерного случая

Для трех мерного случая

После прекращения действия источника наступает период выравнивания температур. Приращение температуры в период выравнивания определяется путем введения фиктивного источника и стока теплоты. После прекращения действия источника предполагается , что одновременно включается фиктивный источник, равный по мощности действительному, и сток тепла, мощность которого равна по величине и противоположна по знаку действительному. Суммарное действие фиктивного источника и стока равно нулю.

Приращение температуры определяется по формуле

Т=и - Тс

где и = пр (t), ) t – время от начала действия действительного

источника) ;

с = пр (t_ф), где t_ф – время от начала действия фиктивного источника и стока теплоты , т.е. время , прошедшее после момента выключения

действительного источника.

= пр [(t) - (t_ф)] .

Если источник действовал долго то (t) 1 и формула упрощается

= пр [1 - (t_ф)] .