Варианты

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Имя	п	3	5	4	2	1	5	4	1	3	2

Задания

1. Составить уравнение нормали и касательной к кривой в точке (n–m; m+n).

2. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=n с.

3. Найдите предел по правилу Лопиталя .

4. Вычислить приближенное значение функции , используя дифференциал функции.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Геометрический и физический смысл производной.

2. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

3. Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях.

4. Дифференциал функции, его геометрический смысл.

5. Полный дифференциал. Частные производные.

6. Приложение дифференциала функции к приближённым вычислениям.

Практическая работа №9 Тема: Исследование функций и построение графиков.

Цель: Научиться исследовать функцию и строить ее график.

Теоретические сведения

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1. Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2. Точки разрыва. (Если они имеются).

3. Интервалы возрастания и убывания.

4. Точки максимума и минимума.

5. Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

6. Области выпуклости и вогнутости.

7. Точки перегиба.(Если они имеются).

8. Асимптоты.(Если они имеются).

9. Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-; ).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

- < x < -	- < x < -1	-1 < x < 0	0 < x < 1	1 < x <	< x < 
y < 0	y < 0	y > 0	y < 0	y > 0	y > 0
кривая выпуклая	кривая выпуклая	кривая вогнутая	кривая выпуклая	кривая вогнутая	кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

- < x < -	- < x < -1	-1 < x < 0	0 < x < 1	1 < x <	< x < 
y > 0	y < 0	y < 0	y < 0	y < 0	y > 0
функция возрастает	функция убывает	функция убывает	функция убывает	функция убывает	функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции.