Варианты

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Имя	п	3	5	4	2	1	5	4	1	3	2

Задания

1. Прямая на плоскости.

Даны вершины треугольника , , . Найти:

1. координаты точки пересечения медиан;

2. длину и уравнение высоты, опущенной из вершины А;

3. площадь треугольника;

2. Прямая и плоскость в пространстве.

Дана треугольная пирамида с вершинами в точках , , , . Найти:

1. уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и С;

2. величину угла между ребром SC и гранью АВС;

3. площадь грани АВС;

4. объем пирамиды SАВС.

5. уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань АВС, и ее длину;

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Декартова система координат. Работа с отрезками через координаты.

2. Вектора. Произведение векторов. Применение.

3. Уравнения линии на плоскости.

4. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

5. Уравнение прямой линии и плоскости в пространстве.

Практическая работа №5 Тема: Построение кривых и поверхностей второго порядка.

Цель: Научиться определять тип кривых и поверхностей второго порядка и строить их чертежи.

Теоретические сведения

Кривая второго порядка – геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

,

в котором по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля.

Инварианты.

Вид кривой зависит от трёх инвариантов относительно поворота и сдвига системы координат:

Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение.

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

Так, например, невырожденная кривая (Δ≠0) оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

или .

Корни этого уравнения являются вещественными числами.

Классификация кривых второго порядка.

Вид кривой	Каноническое уравнение	Инварианты
Невырожденные кривые (Δ≠0)
Эллипс
Гипербола
Парабола
Вырожденные кривые (Δ=0)
Две мнимые пересекающиеся прямые
Две пересекающиеся прямые
Две параллельные прямые

Главные оси и вершины кривой второго порядка.

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами.

Угол между положительным направлением оси Ox и каждым из двух главных направлений определяется формулой .

Центр кривой второго порядка

Координаты центра определяются системой уравнений:

Решая эту систему относительно x₀ и y₀ получим (D ≠ 0):

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

, , , где x̅, y̅ — координаты относительно новой системы.

Эллипс

О пределение. Эллипс – это множество точек (x, y), сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Каноническое уравнение .

Принятые названия:

• 2a – большая ось эллипса, на ней расположены фокусы;

• 2b – малая ось эллипса, b<a;

• F₁(c,0), F₂(-c,0) – фокусы эллипса;

• 2с – расстояние между фокусами, c < a, ;

• , – фокальные радиус-векторы (по определению );

• называется эксцентриситетом, ;

• называется директрисами эллипса (отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равна ε).

Гипербола

О пределение. Гипербола – это множество точек (x, y), разность расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Каноническое уравнение .

Принятые названия:

• 2a – большая ось гиперболы, на ней расположены фокусы;

• 2b – малая ось гиперболы, b<a;

• F₁(c,0), F₂(-c,0) – фокусы гиперболы;

• 2с – расстояние между фокусами, ;

• , – фокальные радиус-векторы (по определению );

• называется эксцентриситетом, ;

• называется директрисами гиперболы (отношение расстояний от любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равна ε).

Парабола

О пределение. Парабола – это множество точек (x, y), равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение .

Принятые названия:

• OX –ось симметрии параболы, на ней расположен фокус;

• F(p/2,0) – фокус параболы;

• – фокальный радиус-вектор (по определению );

• называется эксцентриситетом;

• называется директрисами параболы (отношение расстояний от любой точки параболы до фокуса и директрисы есть величина постоянная, равна ε=1).