Варианты

Числовых данных параметров т и п определяются по первым буквам фамилии и полного имени.

		А-В	Г-Е	Ж-И	К-М	Н-П	Р-Т	У-Х	Ц-Ш	Щ-Э	Ю-Я
Фамилия	т	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Имя	п	3	5	4	2	1	5	4	1	3	2

Задания

1. Найти полный дифференциал функции ;

2. Найти производную в точке М (n, m) по направлению , образующего угол 45⁰ с осью Ox, функции . Чему равен |grad u(M)|?

3. Найти производные второго порядка функции ;

4. Найти уравнение касательной плоскости и нормали гиперболического параболоида в точке .

5. Найти экстремумы функции .

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с теоретическими сведениями.

2. Выбрать свой вариант согласно первым буквам фамилии и полного имени.

3. Записать исходные данные.

4. Решить задания.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Функция нескольких переменных.

2. Частные производные и полный дифференциал.

3. Производная функции нескольких переменных по направлению.

4. Градиент и его модуль.

5. Производная функции нескольких переменных высших порядков.

6. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

7. Экстремумы функции нескольких переменных.

Практическая работа №11 Тема: Нахождение неопределенного интеграла.

Цель: Научиться находить неопределенный интеграл функции разными методами интегрирования.

Теоретические сведения

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F'(x)=f(x), или dF(x)=f(x)dx. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех ее первообразных: , где С – постоянная.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функций. Правила интегрирования:

1) 2) 3)

4) 5)

Таблица интегралов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

Замена переменных в неопределенном интеграле.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку , где – функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям

Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы для:

Интегрирование тригонометрических функций.

Интегрирование выражений вида .

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.

Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.

Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование рациональных функций.

Известно, что многочлен n-й степени в общем случае имеет n комплексно-сопряжённых корней (некоторые корни могут совпадать). Соответственно, любой многочлен может быть разложен по формуле

, где x₁, x₂,… x_n – корни многочлена.

Следовательно, дробь, знаменателем которой является многочлен, может быть разложена следующим образом:

.

Эта операция разложения дроби в некотором смысле обратна операции приведения дробей общему знаменателю, с той разницей, что здесь ставится обратная задача - не привести дроби к общему знаменателю, а разложить дробь, имеющую общий знаменатель, на несколько дробей, имеющих разные знаменатели.