2.Множества с алгебраическими операциями

Определение 2.1. Бинарной операцией на множестве X называется правило, по которому любым двум элементам x, y из множества X ставится в соответствие некоторый, однозначно определенный, элемент из X, обозначаемый х * у. Заметим, что на множестве X могут быть определены и так называемые унарные операции: каждому элементу множества X ставится в соответствие некоторый, однозначно определенный, элемент множества X. Таким образом задание унарной операции - это задание некоторого отображения f : X —> X. Точно также на множестве определяются нуль-арные операции: выделение какого-то элемента множества. По аналогии можно определить п-арную операцию на множестве X как некоторое отображение f : Хп → X. На одном и том же множестве могут быть определены несколько операций. Например, на множестве Z определены две бинарные операции: сложение и умножение; унарная операция: каждому элементу z множества Z ставится в соответствие элемент (—z); две нуль-арные операции: выделение 0 и 1. Определение 2.2. Операция * на множестве X называется 1) ассоциативной, если для любых элементов х, у, z X выполняется равенство (x*y)*z=х* (y*z); 2)коммутативной, если для любых элементов х,у X выполняется равенство х*у = у*х. Определение 2.3. Элемент e в множестве X называется нейтральным, единицей, относительно операции * на X, если для любого элемента х из множества X выполняется равенство х*е=е*х= х. Заметим, что выделение нейтрального элемента в множестве задает нуль-арную операцию на этом множестве. Если операция * - обычное умножение на множестве N, Z или R, то е = 1 называют единицей; если же * - обычное сложение, то е = 0 называют нулем.  Примеры. 1) Бинарные операции сложения и умножения на множестве Z - ассоциативны и коммутативны. Нейтральным эл-ом относительно операции сложения яв-ся 0, а относительно умножения – 1. 2) Рассмотрим множество матриц порядка 2×2 (таблица, состоящая из действительных чисел), такое множество обычно обозначают M2(R). На этом множестве определены две бинарные операции: сложение и умножение. Операция сложения - ассоциативна и коммутативна; операция умножения - ассоциативна, но не коммутативна. Нейтральным элементом относительно сложения является матрица

3.Поле комплексных чисел

Комплексным числом называется выражение вида x+yix+yi, где x и y — действительные числа, а ii — символ, называемый мнимой единицей. Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z=x+yiz=x+yi и обозначаются x=(x+yi)=Rez,y=Im(x+yi)=Imz.

Если мнимая часть равна нулю (y=0), то число x+0ix+0i считается совпадающим с действительным числом x. Если действительная часть равна нулю (x=0), то число 0+yi0+yi называется чисто мнимым и обозначается просто yi.

Два комплексных числа x1+y1i и x2+y2i называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно: x1+y1⋅i=x2+y2⋅i⇒{x1=x2,y1=y2.x1+y1⋅i=x2+y2⋅i⇒{x1=x2,y1=y2.

Множество комплексных чисел обозначается символом C.

Сложение и вычитание в поле комплексных чисел:

Суммой z1+z2z1+z2комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число z=z1+z2=(x1+x2)+(y1+y2)⋅i.

Из этого определения и свойств операции сложения действительных чисел следует, что:

а) операция сложения комплексных чисел коммутативна: z1+z2=z2+z1 ∀z1,z2∈C

б) операция сложения комплексных чисел ассоциативна: z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 ∀z1,z2,z3∈C;

в) существует нулевой элемент θ=0+0i:z+θ=θ+z=z ∀z∈C; нулевой элемент обозначается просто символом нуль 0=0+0i;

г) для каждого комплексного числа z=x+yi существует противоположный ему элемент

(−z)=(−x)+(−y)i: z+(−z)=(−z)+z=0.Из последнего свойства следует, что на множестве комплексных чисел определена операция вычитания (обратная к сложению). Разностью чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число z=z1−z2=(x1−x2)+(y1−y2)⋅i.

Умножение и деление в поле комплексных чисел

Произведением z1z2 комплексных чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число z=z1⋅z2=(x1⋅x2−y1⋅y2)+(x1⋅y2+x2⋅y1)⋅i.

В частности, i⋅i=(0+1i)⋅(0+1i)=(0⋅0−1⋅1)+(0⋅1+0⋅1)i=−1+0⋅i=−1, то есть i⋅i=−1.

Правую часть формулы можно получить, если перемножить выражения (x1+y1i) и (x2+y2i), как двучлены, и учесть равенство i⋅i=−1.

Из определения и свойств операции умножения действительных чисел следует, что:

а) операция умножения комплексных чисел коммутативна: z1⋅z2=z2⋅z1 ∀z1,z2∈C.

б) операция умножения комплексных чисел ассоциативна: z1(z2z3)=(z1z2)z3 ∀z1,z2,z3∈C.

в) существует единичный элемент e=1+0i:ze=ez=z ∀z∈C; единичный элемент обозначается просто символом единица: 1=1+0i;

г) для каждого комплексного числа z=x+yi, отличного от нуля, существует обратный ему элемент z⁻¹=x/(x²+y²)+(−y⋅i)/(x²+y² )такой, что z⋅z⁻¹=z⁻¹⋅z=1. В самом деле, знаменатель дробей отличен от нуля, так как равенство x2+y2=0 означает, что x=0 и y=0, т.е. z=0+0i=0z=0+0i=0. Следовательно, для z≠0 правая часть определена. Проверим равенство zz⁻¹=1. Используя определение и равенство i⋅i=−1, получаем:

z⋅z⁻¹=(x+yi)⋅(x/(x²+y²)+(−y⋅i)/(x²+y²)=x²+y² /(x²+y²)+(−xy+yx)/(x²+y²)⋅i=1+0i=1. Из последнего свойства следует, что на множестве отличных от нуля комплексных чисел определена операция деления (обратная к умножению). Частным двух чисел z1=x1+y1i и z2=x2+y2i называется комплексное число z=z1/z2=x1x2+y1y2/(x²2+y²2)+(y1x2−x1y2)/(x²2+y²2)⋅i. Правую часть формулы можно получить, если умножить числитель и знаменатель дроби z1/z2 на число x2−y2i. Операции сложения и умножения комплексных чисел связаны законом дистрибутивности: (z1+z2)⋅z3=z1⋅z3+z2⋅z3∀z1∈C,∀z2∈C,∀z3∈C. Таким образом, множество C комплексных чисел является полем