41. Общее условие прямой в пространстве

Уравнение прямой

1. С угловым коэффицентом

Y=kx+b (k=tgd)

2.Общее уравнение прямой

Ax+By+C=0

А) при С=0, y=- x –прямая проходит через начало координат

Б) при B=0 x= - = a – прямая параллельна оси Oy

B) при А=0 y= - = b – прямая параллельна оси Ох

Г) при В=С=0 Ах=0 х=0 – ось Оy

Д) при А=С=0 By=0 y=0- oсь Ох

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М₁ и вектора  , параллельного этой прямой.

Вектор  , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

Пусть в пространстве заданы две плоскости:N1 +D₁=0 и  N2+D₂=0, векторы нормали имеют координаты: (A₁,B₁,C₁), (A₂,B₂,C₂); (x,y,z).

Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

Общие уравнения прямой в координатной форме:

.

Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.

При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

42. Каноническое уравнение прямой на плоскости – описание и примеры.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a, если   - некоторая точка прямой a и   - направляющий вектор прямой a.

Пусть   - плавающая точка прямой a. Тогда вектор   является направляющим вектором прямой a и имеет координаты   (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Очевидно, что множество всех точек   на плоскости определяют прямую, проходящую через точку   и имеющую направляющий вектор   тогда и только тогда, когда векторы   и   коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов   и  :  . Последнее равенство в координатной форме имеет вид  .

Если   и  , то мы можем записать

Полученное уравнение вида   называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнение   также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида   задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку   и имеющую направляющий вектор  .

Приведем пример канонического уравнения прямой на плоскости.

К примеру, уравнение   является уравнением прямой в каноническом виде. Прямая, соответствующая этому уравнению, проходит через точку  , а   - ее направляющий вектор. Ниже приведена графическая иллюстрация.

Отметим следующие важные факты:

• если   - направляющий вектор прямой и прямая проходит как через точку  , так и через точку  , то ее каноническое уравнение можно записать как  , так и  ;

• если   - направляющий вектор прямой, то любой из векторов   также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, любое из уравнений прямой в каноническом виде   соответствует этой прямой.

А сейчас покажем решение очень важного примера на составление канонического уравнения прямой на плоскости.

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку   и   - направляющий вектор этой прямой. Напишите каноническое уравнение этой прямой.