8 И 9. Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства.

Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Обозначения:  А – матрица,a_ij - элемент матрицы, i - номер строки, в которой стоит данный элемент, j - номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Определение 1.2. Числа m и n называются размерностями матрицы.

Определение 1.3. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной  матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

 

Определение 1.4.Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

 

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Примеры.

   Определение 1.5. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов  квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

; образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. 

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

Примеры.  1.  2.

Определение 1.6. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением a` = <a_ji</a 

_{Основные свойства определителей} 

_{Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).}

_{Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е. Доказательство. Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.}

_{Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е. Доказательство}

_{Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.  Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0. Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0. Доказательство. Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0. Доказательство следует из свойств 2 и 4. Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1. Свойство 7.      Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5. Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.   Доказательство следует из свойств 7 и 5.}