14.Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса является одним из самых наглядных и простых способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): как однородных, так и неоднородных. Коротко говоря, суть данного метода состоит в последовательном исключении неизвестных. Теоретические основы метода Гаусса изложены, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры» (стр. 17-21). Здесь же мы разберем реализацию метода Гаусса на примерах различных СЛАУ.

Преобразования, допустимые в методе Гаусса:

1. Смена мест двух строк;

2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.

3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

4. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

5. Вычеркивание повторяющихся строк.

Насчет последних двух пунктов: повторяющиеся строки можно вычёркивать на любом этапе решения методом Гаусса, – естественно, оставляя при этом одну из них. Например, если строки №2, №5, №6 повторяются, то можно оставить одну из них, – например, строку №5. При этом строки №2 и №6 будут удалены.

Нулевые строки убираются из расширенной матрицы системы по мере их появления.

Отмечу, что можно менять местами и столбцы матрицы системы, хоть применяется это преобразование нечасто. Например, смена мест первого и третьего столбцов матрицы системы означает, что переменные x1 и x3поменялись местами во всех уравнениях.

Во всех примерах A обозначает матрицу системы, A˜ – расширенную матрицу системы. О матричной форме записи СЛАУ можно прочесть здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ {x1+2x2=11;3x1−x2=12. методом Гаусса.

Решение

Это вводный пример, в котором поясняются самые простые понятия, лежащие в основе метода Гаусса. В следующем примере применение метода Гаусса будет разобрано пошагово.

Системы с двумя уравнениями и двумя переменными изучаются в школьном курсе математики, где для их решения применяются методы подстановки и сложения. Метод Гаусса, по сути, и представляет собой формализированный метод сложения. Для начала избавимся от переменной x1 во втором уравнении. Для этого из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на 3:

3x1−x2−3⋅(x1+2x2)=12−3⋅11;3x1−x2−3x1−6x2=12−33;−7x2=−21.

Обычно первое уравнение системы обозначают римской цифрой I, а второе уравнение – римской цифрой II. И фразу "из второго уравнения вычтем первое уравнение, предварительно умноженное на 3" записывают коротко: II−3⋅I. Заметьте, первое уравнение системы мы не изменяли. Мы затронули лишь второе уравнение, поэтому исходная система станет такой:

{x1+2x2=11;−7x2=−21.

Разделив обе части второго уравнения −7x2=−21 на (-7) имеем: x2=−21−7=3. Сокращённо деление обеих частей второго уравнения на (-7) записывают так: II:(−7). При этом система примет вид:

{x1+2x2=11;x2=3.

Переменная x2 найдена. Осталось определить значение переменной x1. Для этой цели преобразуем первое уравнение, убрав из него переменную x2. Вычтем из первого уравнения второе уравнение, предварительно умноженное на 2 (т.е. выполним действие I−2⋅II). Первое уравнение станет таким:

x1+2x2−2⋅x2=11−2⋅3;x1=11−6=5.

Итак, {x1=5;x2=3.

Ответ найден. Запишем то же решение, но уже без промежуточных пояснений. Решение методом Гаусса заданной СЛАУ будет иметь вид:

{x1+2x2=11;3x1−x2=12.II−3⋅I⇒{x1+2x2=11;−7x2=−21.II:(−7)⇒{x1+2x2=11;x2=3.I−2⋅II⇒{x1=5;x2=3.

Однако такая форма записи неудобна. Гораздо удобнее работать с матричной формой записи. Запишем расширенную матрицу заданной системы: (132−11112). Когда мы вычитаем или складываем уравнения, то, по сути, мы складываем или вычитаем строки этой матрицы. В матричной форме записи метод Гаусса станет таким:

(132−11112)II−3⋅I→(102−711−21)II:(−7)→(1021113)I−2⋅II→(100153)

Отсюда имеем: x1=5, x2=3. Обратите внимание, что от матричной формы записи всегда можно перейти к уравнениям и наоборот. Например, вторая строка матрицы (102−711−21) соответствует уравнению 0⋅x1−7⋅x2=−21, −7x2=−21.

Система решена, однако прочувствовать суть метода Гаусса на таком простом примере несколько затруднительно, посему перейдем к решению неоднородных СЛАУ с тремя (пример №2) и четырьмя (пример №3) неизвестными.